实变函数复习资料

(1) 由 \(B=A\cup(B\setminus A)\)（不交并）与可数可加：\(\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)\ge\mu(A)\)。

(2) 令 \(B_n=A_n\setminus\bigcup_{k

(3) 令 \(C_n=A_n\setminus A_{n-1}\)（取 \(A_0=\varnothing\)），则 \(C_n\) 互不相交且 \(\bigcup C_n=A\)；可数可加给出 \(\mu(A)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\mu(C_n)=\lim_N\mu(A_N)\)。

(4) 令 \(B_n=A_1\setminus A_n\uparrow A_1\setminus A\)，由 (3)：\(\mu(A_1)-\mu(A)=\lim_n(\mu(A_1)-\mu(A_n))\)，移项即得（有限性用于减法合法）。

(1) 覆盖 \(F\) 的区间族必覆盖 \(E\)，下确界关于被覆盖集合单调。

(2) 对每个 \(n\) 取覆盖 \(E_n\) 的开区间族 \(\{I_{n,k}\}\) 使 \(\sum_k|I_{n,k}|

(3) 区间平移保持体积，覆盖族与平移后的覆盖族一一对应，下确界不变。

(4) 先对区间本身：显然 \(m^{*}(I)\le|I|\)（自身即覆盖）；反方向需用有限覆盖定理排除"更省的覆盖"，是经典论证。

开区间可测：对任意 \(A\) 与开区间 \(I\)，用 \(m^{*}\) 的次可加与区间剖分可证 \(m^{*}(A)\ge m^{*}(A\cap I)+m^{*}(A\cap I^c)\)（把覆盖 \(A\) 的区间族按与 \(I\) 的相对位置拆分）。

\(\sigma\)-封闭：补集封闭由条件对 \(E^c\) 的对称性立得；可数并封闭——先证两个可测集 \(E,F\) 的并可测（把 \(A\) 依次按 \(E\)、按 \(F\) 分割，反复用 Carathéodory 条件），再归纳为有限并可测，最后用"有限并的递增极限 + 测度性质"过渡到可数并。

包含开集：开集是至多可数个互不相交半开区间之并，\(\sigma\)-代数对可数并封闭。

可数可加：互不相交可测集 \(E_n\) 的并仍可测；对 \(A=\bigcup E_n\) 反复用 Carathéodory 条件逐个"剥离" \(E_n\)，得 \(m^{*}(A)=\sum_n m^{*}(A\cap E_n)+\lim_N m^{*}(\bigcap_{n>N}E_n^c\cap A)\)，末项趋于 0（用单调性控制）。

完备：\(N\subset E,\ m(E)=0\Rightarrow m^{*}(N)=0\)；对任意 \(A\)，由 \(0\le m^{*}(A\cap N)\le m^{*}(N)=0\) 与次可加验证 Carathéodory 条件。

正则：外正则由外测度定义（用覆盖并 \(E\subset U\) 且 \(m(U)

② ⟸ ①：取 \(U_n\supset E\) 开使 \(m(U_n\setminus E)<1/n\)，则 \(G=\bigcap_n U_n\supset E\) 为 \(G_\delta\) 且 \(m(G\setminus E)=0\)，故 \(E=G\setminus N\)；再由补集的外逼近给内逼近（取 \(F_n\) 闭于 \(E\) 使 \(m(E\setminus F_n)<1/n\)），并集得 \(F_\sigma\) 加零测集。

① 由正则性（定理 2.5(4)）直接给出。

核心工具是有理数化：\(\{f+g>\alpha\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\{f>r\}\cap\{g>\alpha-r\}\)，可数个可测集之并仍可测。\(fg\) 用恒等式 \(fg=\frac14[(f+g)^2-(f-g)^2]\)；\(\varphi\circ f\) 用 \(\{f\in \varphi^{-1}(U)\}\) 且 \(\varphi^{-1}(U)\) 为开集即可测。

\(\{\sup_n f_n>\alpha\}=\bigcup_n\{f_n>\alpha\}\)，可数并可测；\(\inf\) 由 \(\{\inf_n f_n<\alpha\}=\bigcup_n\{f_n<\alpha\}\)。

\(\limsup_n f_n=\inf_k\sup_{n\ge k}f_n\)：先 sup 可测再 inf 可测。极限情形：\(f=\limsup_n f_n\) a.e.，修改 \(f\) 在零测集（\(\{f_n\ \text{不收敛}\}\)）上的值（如取 0），因零测集的可测子集可测、\(\sigma\)-代数对可数并可测，新函数仍可测。

对 \(n\ge1\)、\(1\le k\le n2^n\)，令

\[\varphi_n(x)=\sum_{k=1}^{n2^n}\frac{k-1}{2^n}\,\mathbf{1}_{\{\frac{k-1}{2^n}\le f<\frac{k}{2^n}\}}(x)\;+\;n\,\mathbf{1}_{\{f\ge n\}}(x).\]

每层把值域 \([0,n]\) 剖分为 \(2^n\) 份、把 \(\{f\ge n\}\) 截断为 \(n\)：剖分越细逼近越准，故 \(\varphi_n\uparrow\)；对每个 \(x\)，当 \(f(x)<\infty\) 时 \(\varphi_n(x)\to f(x)\)，当 \(f(x)=\infty\) 时 \(\varphi_n(x)=n\to\infty\)。各集合 \(\{f\ge k/2^n\}\) 均可测，\(\varphi_n\) 确为简单函数。

令 \(E^m_n=\bigcap_{k\ge n}\{x:|f_k(x)-f(x)|<1/m\}\)。固定 \(m\)，由 a.e. 收敛，\(\bigcup_n E^m_n\) 充满 \(X\)（去掉零测集）；有限测度 + 上连续（定理 1.4）给出 \(\lim_n\mu(X\setminus E^m_n)=0\)。

对 \(\varepsilon>0\) 取 \(n_m\) 使 \(\mu(X\setminus E^m_{n_m})<\varepsilon/2^m\)，令 \(E=\bigcap_m E^m_{n_m}\)，则 \(\mu(X\setminus E)\le\sum_m\varepsilon/2^m=\varepsilon\)，且对任意 \(x\in E\)、任意 \(m\)，所有 \(k\ge n_m\) 有 \(|f_k(x)-f(x)|<1/m\)——这正是 \(E\) 上的一致收敛。

由积分单调性，\(\int f_n\le\int f\)，故 \(\lim\int f_n\le\int f\)，只证反方向。

取 \(0

\[\int f_n\ge\int_{E_n}f_n\ge c\int_{E_n}\varphi=c\sum_k a_k\mu(E_n\cap E_k)\to c\sum_k a_k\mu(E_k)=c\int\varphi,\]

末步用上连续（定理 1.4(3)）。先令 \(c\to1^{-}\) 得 \(\lim\int f_n\ge\int\varphi\)，再对 \(\varphi\le f\) 取上确界得 \(\lim\int f_n\ge\int f\)。

令 \(g_n=\inf_{k\ge n}f_k\)，则 \(g_n\uparrow\liminf_n f_n\)。对 \(g_n\) 用 MCT：

\[\int\liminf_n f_n=\lim_n\int g_n=\liminf_n\int g_n\le\liminf_n\int f_n,\]

末步因为 \(g_n\le f_n\) 推 \(\int g_n\le\int f_n\)，对下极限取不改变方向。核心是把"liminf"换成单调序列再借用 MCT。

先证 \(f\) 可积：\(|f|\le g\) a.e.（极限点态保持），故 \(\int|f|\le\int g<\infty\)。

对非负序列 \(g\pm f_n\) 用 Fatou（两方向夹逼）：

\[\int g+\int f=\int(g+f)\le\liminf_n\int(g+f_n)=\int g+\liminf_n\int f_n\ \Rightarrow\ \int f\le\liminf_n\int f_n;\]

同理对 \(g-f_n\)：\(\int g-\int f\le\int g-\limsup_n\int f_n\ \Rightarrow\ \int f\ge\limsup_n\int f_n\)。

合起来 \(\liminf\int f_n\ge\int f\ge\limsup\int f_n\)，极限存在且等于 \(\int f\)。

(1) 先简单函数（直接算），再用定理 3.4 逼近与 MCT 过渡到非负可测函数，最后对 \(f=f^{+}-f^{-}\) 拆分。(4) 由 \(\int f=0\) 推 \(\mu\{\int\text{级}\}\)：\(\{f>0\}=\bigcup_n\{f>1/n\}\)，而 \(\mu\{f>1/n\}=0\)（否则 \(\int f\ge\mu\{f>1/n\}/n>0\)），可数并仍零测。

(1) Riemann 可积 ⟹ a.e. 连续（经典结论）⟹ a.e. 等于某连续函数列的极限 ⟹ 可测；用 Darboux 上下和夹逼：\(\int_a^b f=\sup\int\underline{s}=\inf\int\overline{s}\)，把上/下 Darboux 和写为阶梯函数积分，夹逼得 Lebesgue 积分相等。

(2) 方向"不连续点零测 ⟹ Riemann 可积"用 Riemann 可积的振荡判据：振荡 \(\omega_f(x)\ge1/n\) 的点集可由上下和之差控制，逐层累积后取并，零测保证振幅和趋于 0。反向由 Darboux 上下和之差趋于 0 推出振荡点集零测。

定义 Dini 上升数（右上、右下导数等），用 Vitali 覆盖引理：单调函数的导函数差商在稠密处取极值，若 \(D^{+}f(x)>D_{-}f(x)\) 的集合正测度，则可从差商区间族中选出可数个互不相交区间使测度差被控制，推出 \(\sum\) 差商 ≥ 某正增量与上升数之比，与单调性矛盾——从而四导数 a.e. 相等，即 a.e. 可微。

积分不等式：令 \(d_n(x)=n(f(x+1/n)-f(x))\)（适当延拓），\(d_n\to f'\) a.e.，对非负部分用 Fatou，结合单调性估计 \(\int d_n\) 的上界 \(\le f(b)-f(a)\)，得 \(\int f'\le f(b)-f(a)\)。上连续（定理 1.4）在推导中起测度交换作用。

⟸（充分）：若 \(F(x)=c+\int_a^x g\)，\(g\in L^1\)：绝对连续由积分的绝对连续（\(|\int_E g|\le\int_E|g|\)，被积函数的积分在零测控制下任意小）；导数由 Lebesgue 微分定理（定理 5.5）：均值极限 a.e. 等于 \(g(x)=F'(x)\)。

⟹（必要）：\(AC\Rightarrow BV\Rightarrow\) a.e. 可微（定理 5.2-5.3）；证明 N-L 公式——关键引理：AC 函数的微分在积分下复原。用阶梯逼近：对 AC 的 \(F\)，构造"分段线性"逼近并控制余项，或对 \(F\) 的单调部分分别用差商估计再取极限；零测集上的振荡由 AC 定义吸收。Cantor 函数给出反方向警示：它连续单调、\(F'=0\) a.e.，但非常数——它不是绝对连续，故 N-L 不成立。

先归一化：设 \(\|f\|_p,\|g\|_q>0\)，令 \(F=f/\|f\|_p\)，\(G=g/\|g\|_q\)，目标化为 \(\int|FG|\le1\)。

Young 不等式：对 \(a,b\ge0\)，\(ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\)（由 \(\log\) 的凹性：\(\log ab=\frac1p\log a^p+\frac1q\log b^q\le\log(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\)）。

代入 \(a=|F|,b=|G|\) 并积分：\(\int|FG|\le\frac1p\int|F|^p+\frac1q\int|G|^q=\frac1p+\frac1q=1\)，乘回范数即得。

取 Cauchy 列 \(\{f_n\}\)，抽子列 \(\{f_{n_k}\}\) 使 \(\sum_k\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p<+\infty\)。

令 \(g=\sum_k|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\)，则 \(\|g\|_p\le\sum_k\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p<\infty\)（Minkowski 与单调收敛），故 \(g<\infty\) a.e.，即 \(\sum(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})\) a.e. 绝对收敛——部分和 \(f_{n_k}=f_{n_1}+\sum_{j

再证 \(f\in L^p\) 且 \(f_{n_k}\to f\) 于 \(L^p\)：\(|f|\le g+|f_{n_1}|\) 给出可积性；\(|f_{n_k}-f|\le 2g\) 用 DCT（定理 4.6）得 \(\|f_{n_k}-f\|_p\to0\)。最后用 Cauchy 性质把收敛从子列传到全列。

\(p=\infty\) 时用 a.e. 一致 Cauchy 直接构造极限。

① 简单函数稠密：对 \(f\in L^p\) 先写 \(f=f^{+}-f^{-}\)，用定理 3.4 的逼近列 \(\varphi_n\uparrow f^{\pm}\)，\(|f^{\pm}-\varphi_n|^p\to0\) 且被 \(|f^{\pm}|^p\) 控制，DCT 给 \(\|f-\varphi_n\|_p\to0\)。

② → ③：Lusin 定理（3.6）在去掉小测度集后把 \(\varphi_n\) 变成连续函数；结合 Tietze 延拓成紧支连续函数，再用 DCT 控差（连续函数有界时被常数控制）。

(b) 对 \(\varepsilon>0\)：\(\mu\{|f_n-f|\ge\varepsilon\}\le\varepsilon^{-p}\int|f_n-f|^p=\varepsilon^{-p}\|f_n-f\|_p^p\to0\)。

(c) 由 Egorov：去掉测度 \(\le\varepsilon\) 的坏集后一致收敛，坏集测度可任意小 ⟹ 依测度。

(d) 对 \(k\) 取 \(n_k\) 使 \(\mu\{|f_{n_j}-f_{n_l}|\ge2^{-k}\}\to0\) 型构造，抽对角子列得 a.e. Cauchy ⟹ a.e. 收敛（第 7 章反例 3 表明逆不真）。

(e) \(|f_n-f|^p\le(2g)^p\in L^1\) 且 a.e. 趋于 0，DCT 给 \(\|f_n-f\|_p\to0\)。