偏微分方程复习资料

把特征方程写成对称形式 \(\frac{\mathrm{d}x}{a}=\frac{\mathrm{d}y}{b}=\frac{\mathrm{d}u}{c}\)。沿特征线，任一首次积分 \(\varphi(x,y,u)\) 满足 \(\varphi_x a+\varphi_y b+\varphi_u c=0\)（全导数 \(=\varphi_x x'+\varphi_y y'+\varphi_u u'=\varphi_x a+\varphi_y b+\varphi_u c=0\)）。

两个独立首次积分张成特征线的两参数族；要求 \(\varphi_2=g(\varphi_1)\) 恰把"任意函数"编码进解。反代验证：设 \(F(\varphi_1,\varphi_2)=0\) 可解出 \(u\)，沿特征线 \(\varphi_1,\varphi_2\) 为常数 ⟹ \(F\equiv0\) 恒成立，故方程沿特征线成立；由特征线族覆盖区域，处处成立。

过 \(\Gamma\) 上每一点 \(P(t)\) 作特征线（初值 \((x_0(t),y_0(t),u_0(t))\)）。由 ODE 基本定理，每条特征线局部存在唯一。横截条件 ⟹ 特征线族在 \(\Gamma\) 附近构成光滑坐标变换 \((s,t)\mapsto(x(s,t),y(s,t))\)（Jacobi 行列式非零，隐函数定理）。

在 \((s,t)\) 坐标下构造解 \(u(x,y)=u(s(x,y),t(x,y))\)：沿每条特征线 \(u\) 由其 ODE 初值唯一决定，故解曲面由特征线族扫出。唯一性：任何解都必沿特征线取初值传播，故唯一。连续依赖来自 ODE 解对参数的连续依赖（第 2 章初值依赖定理的多自变量版本）。

主部 \((A,2B,C)\) 是二阶导数向量的二次型：\(Q(\xi,\eta)=A\xi^2+2B\xi\eta+C\eta^2\)。可逆变换 \((x,y)\mapsto(X,Y)\) 下二阶导数按链式法则线性变换，主部二次型按 Jacobian 的合同变换：\(\begin{pmatrix}A'&B'\\B'&C'\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}J^T\)。

合同变换保持行列式符号（\(\det J\ne0\)）：\(B'^2-A'C'=\det(\text{新主部})=(\det J)^2\det(\text{旧主部})\)——判别式符号不变。特征线重合/实/虚由判别式判定，故类型不变。

双曲：两条特征线族 \(\varphi(x,y)=C,\ \psi(x,y)=C\)。取 \(\xi=\varphi,\ \eta=\psi\)。链式法则下主部二次型在 \((\varphi_x,\varphi_y)\)、\((\psi_x,\psi_y)\) 方向退化为零（特征线定义 \(A\varphi_y^2-2B\varphi_x\varphi_y+C\varphi_x^2=0\)），交叉项系数 \(2(A\varphi_x\psi_x+B(\varphi_x\psi_y+\varphi_y\psi_x)+C\varphi_y\psi_y)\) 由 \(\det J\ne0\) 保证非零（否则变换退化）。故 \(u_{\xi\eta}\) 为主导项，再令 \(\alpha=\xi+\eta,\ \beta=\xi-\eta\) 得波动标准形。

抛物：只有一条特征线族 \(\varphi=C\)，取 \(\xi=\varphi\)，\(\eta\) 为任一与 \(\xi\) 线性无关的函数，主部只剩 \(u_{\xi\xi}\) 项。

椭圆：无实特征线，取共轭复特征线 \(\varphi,\bar\varphi\)，令 \(\xi=\mathrm{Re}\,\varphi,\ \eta=\mathrm{Im}\,\varphi\)，主部化为 \(u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}\)。

取特征坐标 \(\xi=x-ct,\ \eta=x+ct\)（第 2 章标准形）。链式法则：\(\partial_t=c(\partial_\eta-\partial_\xi),\ \partial_x=\partial_\xi+\partial_\eta\)，代入得 \(\partial_\xi\partial_\eta u=0\)（波动方程化为混合导数为零）。

积分两次：\(u=f(\xi)+g(\eta)=f(x-ct)+g(x+ct)\)——左右行波的叠加。代初值：\(f(x)+g(x)=\varphi(x)\)，\(-cf'(x)+cg'(x)=\psi(x)\)。解得

\(f(x)=\frac12\varphi(x)-\frac1{2c}\int_0^x\psi(s)\,\mathrm{d}s\)，\(g(x)=\frac12\varphi(x)+\frac1{2c}\int_0^x\psi(s)\,\mathrm{d}s\)，代回并化简即得公式。

对 \(E\) 求导并利用方程与分部积分（假设解在无穷远衰减，或对有限区间配合边界项）：

\(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\int(u_tu_{tt}+c^2u_xu_{xt})=\int(u_tc^2u_{xx}+c^2u_xu_{xt})=\int c^2\partial_x(u_tu_x)\)（用 \(u_{tt}=c^2u_{xx}\) 与 \(u_xu_{xt}=\partial_x(u_tu_x)-u_{xx}u_t\)）\(=c^2[u_tu_x]\big|_{-\infty}^{\infty}=0\)。

故 \(E(t)\equiv E(0)\)。唯一性：设两解 \(u_1,u_2\)，差 \(w=u_1-u_2\) 满足零初值 ⟹ \(E_w(0)=0\) ⟹ \(E_w(t)=0\) ⟹ \(w_t=w_x\equiv0\) ⟹ \(w\) 为常数，由初值 \(w(0)=0\) 得 \(w\equiv0\)。连续依赖：初值差小 ⟹ 初始能量小 ⟹ 能量恒小（能量范数控制 \(L^2\) 偏差）。

对 \(x\) 作 Fourier 变换 \(\hat u(\xi,t)=\int u(x,t)e^{-ix\xi}\mathrm{d}x\)：\(u_t=ku_{xx}\) 变为 \(\hat u_t=-k\xi^2\hat u\)——常微分方程，解 \(\hat u(\xi,t)=\hat\varphi(\xi)e^{-k\xi^2t}\)。

反演：\(e^{-k\xi^2t}\) 的 Fourier 逆变换恰是 \(K(x,t)\)（Gauss 积分的标准结果 \(\int e^{-a\xi^2}e^{ix\xi}\mathrm{d}\xi=\sqrt{\pi/a}\,e^{-x^2/(4a)}\)）。卷积定理：乘积的逆 = 卷积，得 \(u=K*\varphi\)。验证 \(K\) 满足方程：直接求导代入（指数函数的链式法则）。

反证：设 \(u\) 在内部点 \((x_0,t_0)\)（\(t_0>0\)）取严格最大值。在该点，二阶导必要条件 \(u_{xx}(x_0,t_0)\le0\)；且 \(u_t(x_0,t_0)\)：若为严格最大值且 \(t_0内部不能取严格最大。

处理"非严格最大"（可能相等）：对辅助函数 \(v=u+\varepsilon x^2\)，\(v_t-kv_{xx}=-2k\varepsilon<0\)，故 \(v\) 无内部严格最大，\(\max_{\overline{Q_T}}v\le\max_{\partial_p Q_T}v\)；令 \(\varepsilon\to0\) 得 \(u\) 的结论。最小值同理（对 \(-u\)）。

设 \(w=u-v\)：\(w_t=kw_{xx}\)，零边值，初值 \(\varphi-\psi\)。由最大值原理，\(w\) 在抛物边界取极值，而抛物边界上 \(w\) 的初值部分 \(\le\max|\varphi-\psi|\)、边值部分为 0。故 \(\max w\le\max|\varphi-\psi|\) 且 \(\min w\ge-\max|\varphi-\psi|\)，即 \(|w|\le\max|\varphi-\psi|\) 处处成立。

光滑化：\(\partial_x^m K(x-y,t)\) 对每个 \(t>0\) 是 \(y\) 的有界函数且衰减（\(e^{-(x-y)^2/(4kt)}\) 乘以多项式），故 \(\partial_x^m u=\int\partial_x^mK\cdot\varphi\) 对任意 \(m\) 收敛——\(u\) 无穷光滑。

无限传播：\(K(x-y,t)>0\) 对一切 \(x,y,t>0\)，故 \(u(x,t)=\int K\varphi>0\) 处处成立（\(\varphi\ge0,\ \not\equiv0\)）。

向后不适定：令 \(u=e^{-\xi^2t}\cos(\xi x)\)（反解 \(u_t=-ku_{xx}\) 于 \(t<0\)），初值 \(\cos(\xi x)\) 有界但解高频振荡指数增长——Hadamard 病态问题例。

球面平均：令 \(A(r)=\frac1{|\partial B(x_0,r)|}\int_{\partial B(x_0,r)}u\,\mathrm{d}S\)。球坐标下（\(\mathrm{d}S=r^{n-1}\mathrm{d}\omega\)）：\(A(r)=\frac1{|\mathbb S^{n-1}|}\int_{\mathbb S^{n-1}}u(x_0+r\omega)\,\mathrm{d}\omega\)。求导（将导数移入积分并换元）：

\(A'(r)=\frac1{|\mathbb S^{n-1}|}\int_{\mathbb S^{n-1}}\nabla u(x_0+r\omega)\cdot\omega\,\mathrm{d}\omega=\frac1{|\mathbb S^{n-1}|r^{n-1}}\int_{\partial B(x_0,r)}\frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d}S\)（外法向 = 径向）。

由 散度定理：\(\int_{\partial B}\frac{\partial u}{\partial n}=\int_B\Delta u=0\)（调和）。故 \(A'(r)=0\)，\(A(r)\) 常数；\(\lim_{r\to0}A(r)=u(x_0)\)，得球面平均。球体平均由对 \(r\) 再积分（\(|B|=\int_0^r|\partial B(x_0,\rho)|\,\mathrm{d}\rho\)）。

强形式反证：设 \(u\) 在内部点 \(x_0\) 取最大值 \(M\)，由平均值性质，球 \(B(x_0,r)\) 上平均值 \(=M\)，而 \(u\le M\)，故球上处处 \(u=M\)；不断扩球（连通性 + 有限覆盖）得全 \(\Omega\) 上 \(u=M\)——与"非常数"矛盾。

弱形式：\(\overline\Omega\) 紧 ⟹ 最大值在某点取得；若在内部则强形式矛盾（除非常数），故极值在边界。唯一性：差 \(w\) 调和、零边值，\(\max w=\min w=0\)。

调和函数导数仍调和（\(\Delta u=0\implies\Delta u_{x_i}=0\)，微分与拉普拉斯交换）。对 \(u_{x_i}\) 用平均值性质并估计：

\(|u_{x_i}(x_0)|=\big|\frac1{|B|}\int_B u_{x_i}\big|\le\frac{n}{r}\max_{\overline{B(x_0,r)}}|u|\)（散度定理 + \(u\) 有界 \(M\)）\(\le\frac{nM}{r}\)。

对任意 \(r>0\) 成立，令 \(r\to\infty\) 得 \(u_{x_i}\equiv0\)，故 \(u\) 常数。

Green 第二恒等式（散度定理两次分部）：\(\int_\Omega(u\Delta v-v\Delta u)=\int_{\partial\Omega}(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})\)。

取 \(v=G(x,\cdot)\)：\(\Delta_y G=\delta(x-y)\)（基本解 + 调和修正），\(\Delta_y u=f\)。代入恒等式并处理奇异（以小球挖去奇点、对半径取极限）得表示公式。边界项用 \(G|_{\partial\Omega}=0\) 化简。\(\frac{\partial G}{\partial n_y}\) 称为 Poisson 核（边值的"影响权重"）。

SL 算子 \(L=-\frac1w\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})+\frac qw\) 在分离边界条件下是 \(L_w^2\) 上的自伴算子：\(\langle Lf,g\rangle=\langle f,Lg\rangle\)（分部积分两次、边界项由边界条件消去）。

自伴 ⟹ 特征值实（\(\lambda\langle y,y\rangle=\langle Ly,y\rangle\) 实）；不同特征值特征函数正交（两方程相减化为 Wronskian 型、边界项消去的论证）。完备性来自谱定理 / Hilbert-Schmidt 理论：Green 函数核定义的预解算子是紧自伴算子，紧自伴算子的特征向量完备。

形式上：\(u=\sum T_n(t)X_n(x)\) 代入方程，用 \(X_n''=-\lambda_nX_n\)：\(\sum(T_n'+k\lambda_nT_n)X_n=\sum f_nX_n\)。由正交性逐项相等 ⟹ \(T_n\) 的 ODE，解得上述公式。初值由 \(T_n(0)=c_n\)（\(\varphi\) 的展开系数）。

收敛性验证：\(|\lambda_n|\sim n^2\)、\(|f_n|\le C/n^2\)（光滑 f 的系数快速衰减）⟹ 级数及导数一致收敛，故逐项运算合法。物理：高阶模态指数级衰减——解由低频主导。

由分离变量得 \(u(r,\theta)=\frac{a_0}2+\sum r^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)\)。把展开写成复数形式 \(u=\mathrm{Re}\sum_{n\ge0}\hat g_n z^n\)（\(z=re^{i\theta}\)）——调和函数是解析函数实部（第 5 章 5.6）。

求和：\(\sum_{n\ge0}\hat g_nz^n=\frac1{2\pi}\int g(\phi)\sum_{n\ge0}(re^{i(\theta-\phi)})^n\,\mathrm{d}\phi=\frac1{2\pi}\int g(\phi)\frac1{1-re^{i(\theta-\phi)}}\,\mathrm{d}\phi\)（几何级数）。取实部：\(\mathrm{Re}\frac1{1-re^{i\alpha}}=\frac{1-r\cos\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}\)，代入整理得 Poisson 公式。唯一性由极值原理（5.3）。

光滑区：\(u_t+f'(u)u_x=0\)，沿特征线 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(x(t),t)=u_t+u_xx'=u_t+f'(u)u_x=0\)——\(u\) 沿特征常数。

破裂：相邻特征线斜率 \(f'(u)\) 不同（\(f''>0\) 时波后快波前慢），特征线相交时 \(u_x\to\infty\)（对 \(u_x\) 求导：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u_x=-f''(u)u_x^2\) 在有限时间爆炸）。

R-H 条件：在激波附近积分守恒律（对区间 \([x_1,x_2]\) 含激波，\(\int_{x_1}^{x_2}u\,\mathrm{d}x\) 的变化率 = 通量差），令区间收缩到激波得 \(\sigma[u]=[f(u)]\)。