常微分方程复习资料

目标是找 \(\mu>0\) 使左端成为完全微分：\(\mu y'+\mu py=(\mu y)'=\mu y'+\mu' y\)，故需 \(\mu'=p\mu\)，解得 \(\mu=e^{\int p\,\mathrm{d}x}\)（取一个原函数即可，常数并入通解）。

方程化为 \((\mu y)'=\mu q\)，两边积分 \(\mu y=\int\mu q\,\mathrm{d}x+C\)，除以 \(\mu\) 即得通解公式。\(p,q\) 在区间上连续时公式在区间内处处有效（积分因子的指数函数恒正，无奇点）。

⟹：若存在 \(\psi\) 使 \(M=\psi_x,\ N=\psi_y\)，混合偏导相等（Clairaut/Schwarz 定理，\(\psi\) 二阶连续）：\(M_y=\psi_{xy}=\psi_{yx}=N_x\)。

⟸：定义 \(\psi(x,y)=\int_{x_0}^{x}M(t,y_0)\,\mathrm{d}t+\int_{y_0}^{y}N(x,t)\,\mathrm{d}t\)（沿折线积分，矩形单连通）。由微积分基本定理 \(\psi_x=M(x,y_0)+\int_{y_0}^{y}N_x(x,t)\,\mathrm{d}t=M(x,y_0)+\int_{y_0}^{y}M_y(x,t)\,\mathrm{d}t=M(x,y)\)（用条件 \(N_x=M_y\)）。同理 \(\psi_y=N\)。故 \(\mathrm{d}\psi=M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y\)，恰当。

把 IVP 等价为积分方程 \(y=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y(t))\,\mathrm{d}t\)（两边积分 / 微积分基本定理）。定义算子 \(T(\varphi)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi)\,\mathrm{d}t\)，在 \(C([x_0-h,x_0+h])\) 的柱形空间上：

(1) 不变性：\(\|T\varphi-y_0\|\le M h\le b\)，映射保持柱形；

(2) 压缩性：\(\|T\varphi-T\psi\|=\|\int f(\cdot,\varphi)-f(\cdot,\psi)\|\le Lh\|\varphi-\psi\|\)，取 \(h<1/L\) 时 \(Lh<1\)。

由 Banach 压缩映射定理存在唯一不动点（或用逐次迭代的几何级数估计 \(\|\varphi_{n+1}-\varphi_n\|\le(Lh)^n\|\varphi_1-\varphi_0\|\) 证 Cauchy 列）。唯一性：两个不动点之差 \(d\) 满足 \(\|d\|\le Lh\|d\|\)，\(Lh<1\) ⟹ \(d=0\)。

用 Euler 折线逼近：取步长 \(\delta\)，构造分段线性近似解 \(y_\delta\)（等度连续：斜率有界 \(M\)；一致有界：\(|y_\delta-y_0|\le Mh\)）。由 Arzelà-Ascoli，存在子列 \(\delta_k\to0\) 使 \(y_{\delta_k}\) 一致收敛于 \(\varphi\)。对积分方程取极限（连续性保证 \(\lim f(\cdot,y_{\delta_k})=f(\cdot,\varphi)\)），\(\varphi\) 满足积分方程，故为解。唯一性失败的原因：\(\sqrt{|y|}\) 在 \(y=0\) 处不满足 Lipschitz（\(|f(y)-f(0)|/|y|=1/\sqrt{|y|}\to\infty\)）。

连续依赖：设 \(\varphi,\psi\) 对应初值 \(y_0,\tilde y_0\)，差 \(\delta=\varphi-\psi\) 满足 \(\delta(x)=\delta(0)+\int_{x_0}^x[f(t,\varphi)-f(t,\psi)]\,\mathrm{d}t\)，故 \(|\delta(x)|\le|\delta(0)|+L\int_{x_0}^x|\delta(t)|\,\mathrm{d}t\)。由 Gronwall 不等式（\(u\le A+L\int u\implies u\le Ae^{L(x-x_0)}\)）得 \(|\delta(x)|\le|\delta(0)|e^{L|x-x_0|}\)——初值差按指数被控制。可微依赖：差商 \(\frac{\varphi(x;y_0+h)-\varphi(x;y_0)}{h}\) 满足变分方程的近似，取极限。

把方程化为一阶方程组 \(Y'=AY\)（\(Y=(y,y',\dots,y^{(n-1)})\)，A 为友矩阵/伴随矩阵）。由存在唯一性，映射"初值 \(Y(x_0)\mapsto\) 解 \(Y(x)\)"是从 \(\mathbb R^n\) 到解空间的线性同构（线性方程 ⟹ 解对初值线性依赖）。故解空间维数 = \(n\)。取 \(e_1,\dots,e_n\)（单位坐标初值）对应的解即基本解组。

\(W=y_1y_2'-y_1'y_2\)。求导：\(W'=y_1y_2''+y_1'y_2'-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1y_2''-y_1''y_2\)。由方程 \(y_i''=-p y_i'-q y_i\) 代入：

\(W'=y_1(-p y_2'-q y_2)-(-p y_1'-q y_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)。一阶线性方程积分即得 \(W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p}\)。指数因子恒正 ⟹ \(W\) 不变号。

试解 \(y=e^{\lambda x}\) 给出特征方程；\(e^{\lambda_1x},e^{\lambda_2x}\) 线性无关（Wronskian \(=(\lambda_2-\lambda_1)e^{(\lambda_1+\lambda_2)x}\ne0\)）。重根 \(\lambda\) 时只剩一个指数解，检验 \(xe^{\lambda x}\)：

\((xe^{\lambda x})''+a(xe^{\lambda x})'+b(xe^{\lambda x})=e^{\lambda x}[(2\lambda+a)+(\lambda^2+a\lambda+b)x]=0\)（\(\lambda^2+a\lambda+b=0\) 且 \(2\lambda+a=0\) 由判别式 \(\Delta=0\) 给出）。\(e^{\lambda x},xe^{\lambda x}\) 的 Wronskian \(=e^{2\lambda x}\ne0\)。复根情形用 Euler 公式 \(e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)\) 取实部 / 虚部。

代入约束 \(\sum c_i'y_i^{(k)}=0\)（\(k=0,\dots,n-2\)）保证高阶导数只来自 \(y_i\) 的导数，最后得 \(y^{(n)}+\cdots=\sum c_i(y_i^{(n)}+a_1y_i^{(n-1)}+\cdots+a_ny_i)+(\sum c_i'y_i^{(n-1)})=f\)（括号内为 0，因 \(y_i\) 是齐次解）。故只需 \(\sum c_i'y_i^{(n-1)}=f\)。方程组 \(\sum c_i'y_i^{(k)}=\delta_{k,n-1}f\) 的系数矩阵即 Wronskian 阵，可逆 ⟹ \(c_i'\) 唯一确定。

由行列式的导数公式（Jacobi 恒等式）：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det\Phi(t)=\det\Phi\cdot\mathrm{tr}(\Phi^{-1}\Phi')\)（把行列式按列展开求导，每项只保留一列导数，其余列不动；列微分后化为对角和）。

由 \(\Phi'=A\Phi\)：\(\mathrm{tr}(\Phi^{-1}\Phi')=\mathrm{tr}(\Phi^{-1}A\Phi)=\mathrm{tr}A\)（迹的循环性）。故 \((\det\Phi)'=\mathrm{tr}A\cdot\det\Phi\)，一阶线性方程积分即得公式。

逐项微分：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{At}=\sum_{k\ge1}\frac{A^k t^{k-1}}{(k-1)!}=A\sum_{j\ge0}\frac{A^j t^j}{j!}=Ae^{At}\)，故每列都是解；\(e^{At}|_{t=0}=I\) 满秩，列向量线性无关 ⟹ 基解矩阵。唯一性由定理 4.2。

Jordan 块 \(J=\lambda I+N\)（\(N\) 幂零）：\(e^{Jt}=e^{\lambda t}e^{Nt}=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{N^k t^k}{k!}\)——有限和，给出 \(t^k e^{\lambda t}\) 项。用 \(P^{-1}AP=J\) 还原：\(e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}\)。

设 \(X=e^{At}U(t)\)（常数变易：把齐次解的常数 \(C\) 换成函数 \(U(t)\)）。代入：\(X'=Ae^{At}U+e^{At}U'=AX+e^{At}U'\)，与方程 \(X'=AX+F\) 比较得 \(e^{At}U'=F\)，即 \(U'=e^{-At}F\)。积分：\(U(t)=U(t_0)+\int_{t_0}^t e^{-As}F(s)\,\mathrm{d}s\)，初值 \(U(t_0)=e^{-At_0}X_0\)。代回即得公式（用 \(e^{A(t-t_0)}=e^{At}e^{-At_0}\)）。

由 Jordan 分解 \(e^{At}=P e^{Jt}P^{-1}\)，每个 Jordan 块 \(e^{(\lambda I+N)t}=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{N^k t^k}{k!}\)。取范数：

\(\|e^{At}\|\le C\sum_{k}|t|^k e^{\mathrm{Re}\,\lambda\,t}\)。若所有 \(\mathrm{Re}\,\lambda<0\)，指数衰减压过多项式增长：\(\|e^{At}\|\to0\)（\(t\to\infty\)），渐近稳定。若某 \(\mathrm{Re}\,\lambda>0\)，对应分量指数增长，不稳定。\(\mathrm{Re}\,\lambda=0\) 时：一阶块给出常数 / 振荡项（稳定），高阶块给出 \(t^k\) 多项式增长（不稳定）。

写 \(f(X)=JX+g(X)\)，\(g=o(\|X\|)\)。构造"线性化 + 余项"的比较：设 \(J\) 特征值实部 \(<-\alpha<0\)，则 \(\|e^{Jt}\|\le Ce^{-\alpha t}\)。解积分方程 \(X(t)=e^{Jt}X_0+\int_0^t e^{J(t-s)}g(X(s))\,\mathrm{d}s\)（Duhamel）。

取范数并利用 \(\|g(X)\|\le\frac{\alpha}{2C}\|X\|\)（初值小时成立）：\(\|X(t)\|\le Ce^{-\alpha t}\|X_0\|+\frac{\alpha}{2}\int_0^t e^{-\alpha(t-s)}\|X(s)\|\,\mathrm{d}s\)。乘以 \(e^{\alpha t}\) 后用 Gronwall 得 \(\|X(t)\|\le C\|X_0\|e^{-\alpha t/2}\to0\)——渐近稳定。Hartman-Grobman 更强：双曲平衡点附近轨线拓扑等价于线性系统。

沿解 \(X(t)\)：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V(X(t))=\nabla V(X(t))\cdot X'(t)=\nabla V\cdot f(X)=\dot V(X(t))\)（链式法则）。

稳定：\(\dot V\le0\) ⟹ \(V(X(t))\le V(X_0)\)。由 \(V\) 正定连续，存在 \(\delta\) 使 \(\|X\|<\delta\implies V(X)<\varepsilon_*\)（\(V\) 的"等值线收缩"），故 \(\|X(t)\|<\varepsilon\) 恒成立。

渐近稳定：\(\dot V<0\) 严格时 \(V(X(t))\downarrow\) 有下界收敛于 \(c\ge0\)。若 \(c>0\)，轨线留在紧集 \(\{V\ge c\}\cap\{\|X\|\le\varepsilon\}\)，\(\dot V\) 在其上有负上界 \(-\gamma<0\)，则 \(V(X(t))\le V(X_0)-\gamma t\to-\infty\) 矛盾——故 \(c=0\)，\(X(t)\to0\)。

实性：系数实 ⟹ 若 \(\lambda\) 是特征值、\(y\) 是复特征函数，则 \(\bar\lambda,\bar y\) 也满足；相减得 \((\lambda-\bar\lambda)\int_a^b y\bar y\,w\,\mathrm{d}x=0\)，权重积分 >0，故 \(\lambda=\bar\lambda\)。

正交性：设 \(\lambda_m\ne\lambda_n\)，对 \(y_m\) 的方程乘 \(y_n\)、\(y_n\) 的方程乘 \(y_m\) 后相减：\(-y_n(py_m')'+y_m(py_n')'=(\lambda_m-\lambda_n)w y_m y_n\)。左端是 \((p(y_m y_n'-y_m'y_n))'\) 的负号形式（Wronskian 型）：

\(\int_a^b =(\lambda_m-\lambda_n)\int_a^b w y_m y_n\)。分部积分后边界项由分离边界条件消去（\(y_m,y_n\) 均满足同一边界条件 ⟹ 边界处 Wronskian 为 0），左端积分为 0，故 \(\int_a^b w y_m y_n=0\)。

设 \(u_1,u_2\) 为齐次方程 \(L[y]=0\) 的解，分别满足左、右边界条件。对固定 \(\xi\)，令 \(G(x,\xi)=\begin{cases}c_1 u_1(x)&a\le x<\xi\\ c_2 u_2(x)&\xi

(1) 连续性：\(c_1u_1(\xi)=c_2u_2(\xi)\)；(2) 导数跳跃：\(c_2u_2'(\xi)-c_1u_1'(\xi)=\frac{1}{p(\xi)}\)（来自积分 \(L[G]=\delta(x-\xi)\)，即 \(\delta\) 函数的"单位冲量"）。

由 Cramer 法则解出 \(c_1,c_2\)，分母是 \(W(u_1,u_2)(\xi)/p(\xi)\ne0\)（\(u_1,u_2\) 线性无关，因 \(\lambda=0\) 非特征值）。验证：\(y=\int G(\cdot,\xi)f(\xi)\) 满足 \(L[y]=f\)（把 \(L\) 移入积分，\(L_xG=\delta(x-\xi)\)）与边界条件（\(G\) 逐段满足）。

把 SL 问题看作加权 Hilbert 空间 \(L_w^2(a,b)\) 上的自伴算子 \(L=-\frac1w\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})+\frac qw\)（分离边界条件下自伴：\(\langle Lf,g\rangle=\langle f,Lg\rangle\)）。

自伴紧算子的谱定理（Hilbert-Schmidt）：自伴算子特征值为实、特征函数正交且完备。正则 SL 的预解算子 \((L-\lambda I)^{-1}\) 是紧算子（Green 函数核是 Hilbert-Schmidt 核），故谱离散。均方收敛由 Parseval 等式保证。

代入 \(y=x^r\sum a_nx^n\) 后，最低次幂 \(x^{r-2}\) 的系数来自 \(x^2Q(x)\cdot x^{r-2}a_0\) 与 \(xP(x)\cdot(r)x^{r-1}a_0\) 与 \((r)(r-1)x^{r-2}a_0\)：得指标方程 \(r(r-1)+p_0r+q_0=0\)（\(p_0=\lim xP,\ q_0=\lim x^2Q\)）。

一般幂 \(x^{r+n-2}\)：\((r+n)(r+n-1)a_n+\sum_{k

根差整数时，第二根 \(r_2\) 处的递推可能在某个 \(n=r_1-r_2\) 处系数为零 ⟹ 自由参数并入第一解，第二解必须用 \(\ln x\) 修正（解 \(y_2=\ln x\cdot y_1+x^{r_2}\sum b_nx^n\)）。

代入 Frobenius 级数：最低次幂 \(x^{r}\) 的系数方程 \(r(r-1)+r-\nu^2=0\) 即指标方程，两根 \(\pm\nu\)。取 \(r=\nu\)：递推 \(a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n+2\nu)}\)（奇数项 \(a_{2k+1}=0\)），

\(a_{2k}=\frac{(-1)^k}{2^{2k}k!(\nu+1)\cdots(\nu+k)}\)，归一化得 \(J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}(\frac x2)^{2k+\nu}\)。

\(\nu=n\in\mathbb Z\) 时 \(\Gamma(\nu+k+1)\) 有限且 \(J_{-n}=(-1)^nJ_n\)（用 \(\Gamma\) 的极点性质），线性相关 ⟹ 第二解需 \(\ln x\) 型（Weber 函数 \(Y_\nu=\frac{J_\nu\cos\nu\pi-J_{-\nu}}{\sin\nu\pi}\) 取极限定义）。