数学分析复习资料
总览知识地图与四条主线
先把地图装进脑子，再背细节：数学分析以极限为公理地基，从实数完备性出发建立微分与积分，再延伸到级数与多元微积分。四条主线共享"收敛 ⟹ 运算可交换"的基本思想。点击图中节点可跳到对应条目。
01实数完备性与数列极限
本层是全部分析的公理地基：确界原理刻画实数的完备性，由此推出单调有界、区间套、致密性、Cauchy 准则等系列定理。它们互相等价——任何一条都可以作为"实数完备性"的出发点。
数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，若 \(\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}\)，\(n>N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon\)，记 \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\)。不收敛称发散。
常用等价：\(a_n\to a\iff\) 任一子列 \(a_{n_k}\to a\)；数列发散 ⟺ 存在两个子列趋于不同极限（或某子列发散）。
非空有上界的数集 \(S\) 的上确界 \(\sup S\)：最小上界（任何上界 \(M\) 满足 \(M\ge\sup S\)）。下确界 \(\inf S\) 类似。确界原理：非空有上界子集必有上确界（有下界必有下确界）——实数完备性最根本的表述。
(1) 唯一性：收敛数列极限唯一；(2) 有界性：收敛 ⟹ 有界；(3) 保号性：极限非零则充分大后同号；(4) 四则运算：\(\lim(a_n\pm b_n)=\lim a_n\pm\lim b_n\)，\(\lim(a_nb_n)=\lim a_n\lim b_n\)，\(\lim b_n\ne0\) 时 \(\lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{\lim b_n}\)；(5) 夹逼准则：\(a_n\le c_n\le b_n\) 且 \(a_n,b_n\to L\Rightarrow c_n\to L\)。
证明要点（唯一性与四则）
唯一性：设 \(a_n\to a,b\)，取 \(\varepsilon=|a-b|/2>0\)，存在 \(N\) 使 \(n>N\) 时 \(|a_n-a|<\varepsilon\) 且 \(|a_n-b|<\varepsilon\)，于是 \(|a-b|\le|a_n-a|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|\)，矛盾。
夹逼：给定 \(\varepsilon\)，取 \(N\) 使 \(a_n,b_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon)\)，则中间的 \(c_n\) 亦落在其间。
乘积极限：\(|a_nb_n-ab|\le|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|\)，先取 \(N_1\) 使 \(|a_n|\le M\)（有界），再分拆 \(\varepsilon\)。
单调递增且有上界的数列收敛（于其上确界）；单调递减且有下界的数列收敛（于其下确界）。
经典应用：\(e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n\) 的存在性（单调增、有上界）。
证明
设 \(\{a_n\}\) 单调递增、有上界，由确界原理 \(a=\sup\{a_n\}\) 存在。对任意 \(\varepsilon>0\)，\(a-\varepsilon\) 不是上界，故存在 \(a_N>a-\varepsilon\)；由单调性 \(n>N\) 时 \(a_n\ge a_N>a-\varepsilon\)，又 \(a_n\le a\)，故 \(|a_n-a|<\varepsilon\)，即 \(a_n\to a\)。
若闭区间列 \([a_n,b_n]\) 满足 \([a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]\) 且 \(b_n-a_n\to0\)，则存在唯一 \(\xi\in\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]\)，且 \(a_n\to\xi,\ b_n\to\xi\)。
证明
\(\{a_n\}\) 单调递增有上界（如 \(b_1\)），由单调有界定理 \(a_n\to\xi\)。对任意 \(m\)，\(n>m\) 时 \(a_n\le b_m\)，取极限得 \(\xi\le b_m\)，故 \(\xi\in[a_m,b_m]\) 对一切 \(m\)。唯一性：若 \(\xi,\eta\in\bigcap\)，则 \(|\xi-\eta|\le b_n-a_n\to0\)，故 \(\xi=\eta\)。
有界数列必有收敛子列。
推论：Cauchy 列（\(\forall\varepsilon>0,\exists N\)，\(m,n>N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\)）在 \(\mathbb{R}\) 中必收敛——\(\mathbb{R}\) 是完备的。
证明（二分区间套）
设 \(\{a_n\}\subset[a_0,b_0]\)。二分：若左半 \([a_0,(a_0+b_0)/2]\) 含有无穷多项，取 \(I_1\) 为左半，否则取右半；反复得区间套 \(I_k\)（长 \((b_0-a_0)/2^k\to0\)）且每个 \(I_k\) 含无穷多项。由区间套定理取 \(\xi\in\bigcap I_k\)；从每个 \(I_k\) 中挑一项 \(a_{n_k}\)（下标递增），因 \(|a_{n_k}-\xi|\le|I_k|\to0\)，得收敛子列。
Cauchy ⟹ 收敛：Cauchy 列有界（取 \(\varepsilon=1\)），由致密性有收敛子列 \(a_{n_k}\to a\)；对 \(\varepsilon>0\)，取 \(N\) 使 \(m,n>N\) 时 \(|a_m-a_n|<\varepsilon\)，再取 \(n_k>N\) 使 \(|a_{n_k}-a|<\varepsilon\)，则 \(|a_n-a|\le|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<2\varepsilon\)。
数列 \(\{a_n\}\) 收敛 ⟺ 它是 Cauchy 列。价值：不依赖极限值即可判定收敛——这是级数（部分和）、函数极限、反常积分判敛的共同基石。
下列六条互相等价（任一条可作完备性公理）：
① 确界原理；② 单调有界定理；③ 闭区间套定理；④ Bolzano-Weierstrass（致密性）；⑤ Cauchy 收敛准则；⑥ 有限覆盖定理（Heine-Borel：闭区间 \([a,b]\) 的任意开覆盖有有限子覆盖）。
惯用证明链：确界原理 ⟹ 单调有界 ⟹ 区间套 ⟹ 致密性 ⟹ Cauchy 准则；致密性 ⟹ 有限覆盖（反证）。
证明链要点
确界 ⟹ 单调有界（定理 1.4 证明）；单调有界 ⟹ 区间套（定理 1.5 证明）；区间套 ⟹ 致密性（定理 1.6 证明）；致密性 ⟹ Cauchy（定理 1.6 证明）。
致密性 ⟹ 有限覆盖：设 \([a,b]\subset\bigcup_\lambda U_\lambda\) 无有限子覆盖。二分：左右两半中至少一半不能被有限覆盖，取之；得区间套 \([a_n,b_n]\)，由区间套定理有 \(\xi\in\bigcap\)。因 \(\xi\in U_{\lambda_0}\)（开集），存在 \(\delta>0\) 使 \((\xi-\delta,\xi+\delta)\subset U_{\lambda_0}\)；取足够大的 \(n\) 使 \([a_n,b_n]\subset(\xi-\delta,\xi+\delta)\)，则 \([a_n,b_n]\) 被单个 \(U_{\lambda_0}\) 覆盖，矛盾。
有界数列 \(\{a_n\}\) 的上极限 \(\limsup a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}a_k\)（单调递减有下界，极限存在）；下极限 \(\liminf a_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}a_k\)。上极限 = 收敛子列极限的最大值，下极限 = 最小值；\(\lim a_n\) 存在 \(\iff\limsup a_n=\liminf a_n\)。
02函数极限与连续
本层把数列结论升级为函数语言：Heine 归结原则打通两套定义；连续性把"局部趋势"升级为"整体性质"，闭区间上的最值 / 介值 / 一致连续（Cantor）定理是分析学第一次真正使用完备性。
\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)：\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)，\(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon\)。
单侧极限 \(\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)\) 类似（只取 \(x>x_0\) 或 \(x
\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) \(\iff\) 对任意收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)（\(x_n\ne x_0\)），都有 \(\lim f(x_n)=A\)。
作用：函数极限的存在性与性质（四则、夹逼、保号）可由数列情形直接推出；证明函数极限不存在只需找两个子列使 \(f(x_n)\) 趋于不同极限。
证明
⟹：由 ε-δ 定义，对 \(\varepsilon>0\) 取 \(\delta>0\)；因 \(x_n\to x_0\)，存在 \(N\) 使 \(n>N\) 时 \(0<|x_n-x_0|<\delta\)，故 \(|f(x_n)-A|<\varepsilon\)。
⟸（反证）：若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\ne A\)，存在 \(\varepsilon_0>0\)，对每个 \(\delta=1/n\) 都能找到 \(x_n\) 满足 \(0<|x_n-x_0|<1/n\) 但 \(|f(x_n)-A|\ge\varepsilon_0\)。则 \(x_n\to x_0\) 而 \(f(x_n)\not\to A\)，与条件矛盾。
函数极限同样满足：唯一性、局部有界、保号性、四则运算、夹逼准则（由 Heine 原则自动继承数列版本）。
重要极限：\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)，\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e\)（及 \(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e\)）。常用推论：\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\)，\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)。
\(f\) 在 \(x_0\) 连续：\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)（等价 ε-δ 定义；等价 Heine 定义：一切 \(x_n\to x_0\) 有 \(f(x_n)\to f(x_0)\)；等价增量形式：\(\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0\)）。
在区间上每点连续称连续函数。连续函数经四则运算（分母非零处）与复合仍连续；初等函数在其定义域内连续。
不连续点称间断点：
① 第一类：左右极限都存在——可去间断点（左右极限相等，\(\lim f(x)\ne f(x_0)\) 或 \(f(x_0)\) 无定义）或跳跃间断点（左右极限不等）；② 第二类：左右极限至少一个不存在（如无穷间断、振荡间断）。
(1) 有界性：闭区间上连续 ⟹ 有界；(2) 最值定理（Weierstrass）：闭区间上连续函数取得最大值与最小值；(3) 介值定理（Bolzano）：闭区间上连续函数可取两端值之间的一切值；(4) 零点定理：\(f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\xi\in(a,b)\) 使 \(f(\xi)=0\)。
证明（最值与介值）
有界 + 最值：反证无上界：对每个 \(n\) 取 \(x_n\in[a,b]\) 使 \(f(x_n)>n\)。由致密性定理有收敛子列 \(x_{n_k}\to\xi\in[a,b]\)（闭区间），由连续性 \(f(x_{n_k})\to f(\xi)\)，与 \(f(x_{n_k})>n_k\to\infty\) 矛盾。最大值同理（上确界可达）。
介值：设 \(f(a)<\mu
严格单调的连续函数有连续的反函数（定义域为原值域）。
推论：\(\arcsin x,\ \arctan x\)、指数函数 \(\exp\)、对数 \(\ln\) 均连续；这与第 5 章幂级数展开互相印证。
\(f\) 在区间 \(I\) 上一致连续：\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)，\(\forall x',x''\in I\)，\(|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon\)。
区别：连续只要求"对每个 \(x_0\) 有 \(\delta(x_0,\varepsilon)\)"；一致连续要求 同一个 \(\delta\) 适用于全部点。
证明（Cantor 定理：闭区间上连续 ⟹ 一致连续）
方法一（有限覆盖）：对 \(\varepsilon>0\)，每点 \(x\) 有 \(\delta_x>0\) 使 \(|x'-x|<\delta_x\Rightarrow|f(x')-f(x)|<\varepsilon/2\)。开区间族 \((x-\delta_x/2,x+\delta_x/2)\) 覆盖 \([a,b]\)，由有限覆盖定理有有限子覆盖，取 \(\delta\) 为这些 \(\delta_x/2\) 的最小值。若 \(|x'-x''|<\delta\)，\(x'\) 落在某 \((x_0-\delta_{x_0}/2,x_0+\delta_{x_0}/2)\)，则 \(|x''-x_0|\le|x''-x'|+|x'-x_0|<\delta_{x_0}\)，故 \(|f(x')-f(x'')|\le|f(x')-f(x_0)|+|f(x_0)-f(x'')|<\varepsilon\)。
方法二（反证 + 致密性）：若不一致连续，存在 \(\varepsilon_0>0\) 及两点列 \(x_n',x_n''\) 使 \(|x_n'-x_n''|<1/n\) 而 \(|f(x_n')-f(x_n'')|\ge\varepsilon_0\)；取收敛子列 \(x_{n_k}'\to\xi\)，则 \(x_{n_k}''\to\xi\)，连续性给 \(|f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')|\to0\)，矛盾。
03一元微分学
本层由"导数定义"出发建立中值定理链：Rolle → Lagrange → Cauchy → Taylor。中值定理是"导数信息 ⟹ 函数信息"的桥梁——单调性、极值、凸性、估值全部由此而来。
\(f\) 在 \(x_0\) 处可导：极限 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在。
可微：\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，线性主部 \(A\Delta x\) 称微分 \(\mathrm{d}y=A\mathrm{d}x\)。可导 ⟺ 可微，且 \(A=f'(x_0)\)。高阶导数 \(f^{(n)}\) 归纳定义。
(1) 四则运算：\((f\pm g)'=f'\pm g'\)，\((fg)'=f'g+fg'\)，\((\frac fg)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)；(2) 链式法则：\((f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)\)；(3) 反函数：\(y=f(x)\) 严格单调可导且 \(f'\ne0\)，则 \((f^{-1})'(y)=1/f'(x)\)；(4) 基本导数表：\((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\)、\((\ln x)'=1/x\)、\((\sin x)'=\cos x\)、\((e^x)'=e^x\) 等。
(1) 可导 ⟹ 连续（反之不真，如 \(|x|\) 在 0 处）；(2) Fermat 引理：若 \(f\) 在极值点 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0)=0\)（可导极值点必为驻点）。
由 Fermat：Darboux 定理——导函数有介值性：若 \(f'(a)<\mu
证明要点（Fermat 与 Darboux）
Fermat：设 \(x_0\) 为极大点，则 \(x
Darboux：设 \(g(x)=f(x)-\mu x\)，则 \(g'(a)=f'(a)-\mu<0\)、\(g'(b)=f'(b)-\mu>0\)，故 \(g\) 在 \(a\) 左侧附近下降、在 \(b\) 右侧附近上升；由最值定理 \(g\) 在闭区间有最小值点 \(\xi\in(a,b)\)，Fermat 给 \(g'(\xi)=0\)，即 \(f'(\xi)=\mu\)。
\(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导、\(f(a)=f(b)\Rightarrow\exists\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)。
证明
由最值定理，\(f\) 在 \([a,b]\) 上有最大值 \(M\) 与最小值 \(m\)。若 \(M=m\)，\(f\) 为常数，处处导数为 0；否则 \(M>m\)，因 \(f(a)=f(b)\)，最大值或最小值中至少有一个在内部点 \(\xi\in(a,b)\) 取得，由 Fermat 引理 \(f'(\xi)=0\)。
\(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导 \(\Rightarrow\exists\xi\in(a,b)\)：
\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\]
推论：① \(f'\equiv0\iff f\) 为常数；② \(f'\ge0\iff f\) 单调递增（\(f'>0\Rightarrow\) 严格递增）；③ \(|f'|\le M\Rightarrow f\) 满足 Lipschitz 条件 \(|f(b)-f(a)|\le M|b-a|\)；④ 由单调性可判极值（导数变号）。
证明（辅助函数化归 Rolle）
作辅助函数 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)（即"\(f\) 减去连接两端点的直线"）。则 \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)，且 \(\varphi\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导；由 Rolle 定理存在 \(\xi\) 使 \(\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)，即 \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)。
推论证明：固定 \(x_1
\(f,g\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导且 \(g'\ne0\Rightarrow\exists\xi\in(a,b)\)：
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]
这是 Lagrange 的推广（取 \(g(x)=x\) 即得）；也是 L'Hôpital 法则与 Taylor 余项的证明基础。
证明（辅助函数）
由 Rolle 先证 \(g(b)\ne g(a)\)（否则存在 \(\xi\) 使 \(g'(\xi)=0\)，矛盾于 \(g'\ne0\)）。作 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\)，则 \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)；Rolle 定理给 \(\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0\)，即得公式。
若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\)（或均为 \(\infty\)），且 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（有限或无穷），则
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]
条件核查：只对 \(\frac00\) 或 \(\frac\infty\infty\) 型适用；每次使用须验证"\(\frac{f'}{g'}\) 极限存在"；可结合等价无穷小（\(\sin x\sim x,\ 1-\cos x\sim x^2/2,\ \ln(1+x)\sim x\)）化简。
证明要点（Cauchy 中值）
\(\frac00\) 型：令 \(f(x_0)=g(x_0)=0\) 延拓连续。由 Cauchy 中值定理，对 \(x\ne x_0\)，存在 \(\xi_x\) 介于 \(x\) 与 \(x_0\) 之间使 \(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}\)；当 \(x\to x_0\) 时 \(\xi_x\to x_0\)，由题设极限存在即得。\(\frac\infty\infty\) 型需先作变形（如 \(\frac{1/g}{1/f}\) 化 \(\frac00\)）或直接推广的 Cauchy 中值不等式论证。
\(f\) 在 \(x_0\) 邻域内 \(n+1\) 阶可导，则对 \(x\) 有
\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x),\]
其中 Peano 余项：\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)（\(n\) 阶可导即可）；Lagrange 余项：\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)（\(\xi\) 在 \(x_0,x\) 之间）。\(x_0=0\) 时称 Maclaurin 公式。
常用展开：\(e^x=\sum\frac{x^k}{k!}\)，\(\sin x=\sum(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\)，\(\cos x=\sum(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\)，\(\ln(1+x)=\sum(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}\)，\((1+x)^\alpha=\sum\binom{\alpha}{k}x^k\)。
证明（Lagrange 余项，反复 Cauchy 中值）
令 \(F(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\)（把 \(x_0\) 换作变量 \(t\)，其余项），\(G(t)=(x-t)^{n+1}\)。则 \(F(x)=G(x)=0\)，且
\(F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\)（交错相消后仅剩最高阶项），\(G'(t)=-(n+1)(x-t)^n\)。
由 Cauchy 中值定理：\(\frac{F(x_0)}{G(x_0)}=\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi_1)}{G'(\xi_1)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_1)}{(n+1)!}\)，其中 \(\xi_1\in(x_0,x)\)；即 \(R_n(x)=F(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)。
(1) \(f\) 二阶可导，则 下凸（\(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)）\(\iff f''\ge0\)；
(2) 判别：\(f''\ge0\) 在区间上成立 ⟹ 下凸；\(f''\) 变号处为拐点；(3) Jensen 不等式：下凸 ⟹ \(f(\sum\lambda_i x_i)\le\sum\lambda_i f(x_i)\)（\(\sum\lambda_i=1\)）。
证明要点（中值定理两次）
(⟹) 下凸 ⟹ 割线斜率单调：\(x_1 (⟸) 对任意 \(x_1
04一元积分学
本层实现"微分与积分的互逆"：定积分（Riemann 和）回答"求积"；微积分基本定理把积分化为求原函数；反常积分把积分推广到无穷区间与瑕点。可积性与一致连续性（2.8）、级数审敛（第 5 章）直接相关。
对 \([a,b]\) 的分割 \(P: a=x_0
必要非充分：可积 ⟹ 有界；有界未必可积（Dirichlet 函数）。
(1) 连续 ⟹ 可积；(2) 单调（或有界且只有有限个间断点）⟹ 可积；(3) 有界函数可积 ⟺ 振幅和 \(\sum\omega_i\Delta x_i\to0\)（振幅 \(\omega_i=\sup f-\inf f\) 于小区间上）。
证明要点（连续 ⟹ 可积）
由 Cantor 定理（闭区间上连续 ⟹ 一致连续，定理 2.8），对 \(\varepsilon>0\) 存在 \(\delta>0\) 使 \(|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{b-a}\)。取分割 \(\|P\|<\delta\)，则每小区间上振幅 \(\omega_i<\frac{\varepsilon}{b-a}\)，振幅和 \(\sum\omega_i\Delta x_i<\varepsilon\)，由振幅和判据可积。
(1) 线性：\(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\)；(2) 区间可加：\(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\)；(3) 保号性：\(f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0\)；\(f\le g\Rightarrow\int f\le\int g\)；(4) \(|f|\) 可积且 \(|\int f|\le\int|f|\)；(5) 估值定理：\(m\le f\le M\Rightarrow m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\)；(6) 积分中值定理：\(f\) 连续 ⟹ \(\exists\xi\in[a,b]\) 使 \(\int_a^b f=f(\xi)(b-a)\)。
证明要点（积分中值）
由最值定理取 \(m=\min f,\ M=\max f\)，估值定理给 \(m\le\frac{1}{b-a}\int_a^b f\le M\)；由介值定理（连续函数取中间值）存在 \(\xi\) 使 \(f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f\)，即得公式。
设 \(F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\)：(1) \(f\) 可积 ⟹ \(F\) 连续；(2) \(f\) 连续 ⟹ \(F\) 可导且 \(F'(x)=f(x)\)——连续函数必有原函数，变上限积分就是原函数。
证明
(2) \(F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t\)。由积分中值定理，存在 \(\xi_h\in[x,x+h]\) 使该差 \(=f(\xi_h)h\)，故 \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi_h)\to f(x)\)（\(h\to0\) 时 \(\xi_h\to x\)，由连续性）。
\(f\) 在 \([a,b]\) 连续，\(F\) 为其任一原函数（\(F'=f\)），则
\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).\]
意义：积分计算归结为求原函数——微分与积分互逆。结合定理 4.4：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f=f\) 与 \(\int_a^b F'=F(b)-F(a)\) 是同一互逆关系的两面。
证明
设 \(G(x)=\int_a^x f\)，由定理 4.4 知 \(G'=f\)。\(F\) 与 \(G\) 有相同导数，故 \(F-G\) 为常数（Lagrange 推论）：\(F(x)=G(x)+C\)。代入 \(x=a\)：\(F(a)=C\)；代入 \(x=b\)：\(F(b)=G(b)+F(a)=\int_a^b f+F(a)\)，即 \(\int_a^b f=F(b)-F(a)\)。
(1) 换元：\(x=\varphi(t)\)（\(\varphi\) 连续可导、值域在积分区间内），\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t\)（\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)）；
(2) 分部积分：\(\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u\)。常用递归：\(\int x^ne^x\)、\(\int x^n\ln x\)、\(\int e^{ax}\sin bx\)。
(3) 常用结论：\(\int_0^{\pi/2}\sin^n x=\frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\)（Wallis 公式），\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt\pi\)。
无穷积分：\(\int_a^{+\infty}f=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f\)（极限存在则收敛）。瑕积分：\(f\) 在 \(b\) 附近无界，\(\int_a^b f=\lim_{\eta\to0^+}\int_a^{b-\eta}f\)。
经典例子：\(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\) 收敛 \(\iff p>1\)；\(\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\) 收敛 \(\iff p<1\)。
(1) Cauchy 准则：\(\int_a^{+\infty}f\) 收敛 \(\iff\forall\varepsilon>0,\exists A\)，\(b'>b>A\Rightarrow|\int_b^{b'}f|<\varepsilon\)；(2) 比较判别法：\(0\le f\le g\) 且 \(\int g\) 收敛 ⟹ \(\int f\) 收敛；(3) 极限比较：\(f\sim c\,g\)（\(c\ne0\)）时同敛散；(4) 绝对收敛：\(\int|f|\) 收敛 ⟹ \(\int f\) 收敛（反之不真，如 \(\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\) 条件收敛，用 Dirichlet 判别）。
05级数理论
本层是"无穷求和"的收敛理论：数项级数先解决"何时收敛"，函数项级数再追问"和函数能否逐项求极限 / 积分 / 微分"——答案是一致收敛。幂级数是分析学最常用的函数表示，Fourier 级数给出周期函数的三角表示。
级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛：部分和 \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\) 收敛。Cauchy 准则：\(\sum a_n\) 收敛 \(\iff\forall\varepsilon>0,\exists N\)，\(n>m>N\Rightarrow|a_{m+1}+\cdots+a_n|<\varepsilon\)。
必要条件：收敛 ⟹ \(a_n\to0\)（反之不真，如调和级数）。
(1) 线性：\(\sum(a_n\pm b_n)=\sum a_n\pm\sum b_n\)（收敛级数间）；(2) 改变有限项不改变收敛性；(3) 收敛级数可任意加括号（结合律方向），但加括号收敛推不出原级数收敛（如 \((1-1)+(1-1)+\cdots\)）；(4) 必要条件 \(a_n\to0\) 用于判发散。
正项级数收敛 ⟺ 部分和有界。
(1) 比较判别法：\(a_n\le b_n\)，\(\sum b_n\) 收敛 ⟹ \(\sum a_n\) 收敛；极限形式：\(a_n/b_n\to c\in(0,\infty)\) 时同敛散；(2) 比值判别法（d'Alembert）：\(\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\)，\(l<1\) 收敛，\(l>1\) 发散，\(l=1\) 失效；(3) 根值判别法（Cauchy）：\(\lim\sqrt[n]{a_n}=l\) 同理；(4) 积分判别法：\(f\downarrow0\) 正，\(\sum f(n)\) 与 \(\int_1^\infty f\) 同敛散（\(p\)-级数由此判）。
证明（比值与根值）
比值判别：\(l<1\) 时取 \(r\in(l,1)\)，存在 \(N\) 使 \(n>N\) 时 \(a_{n+1}
根值判别：\(l<1\) 时取 \(r\in(l,1)\)，\(n>N\) 时 \(a_n 积分判别：单调性给 \(\sum_{k=2}^{n}f(k)\le\int_1^n f\le\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\)，部分和与积分同有界。
\(a_n\downarrow0\)（单调递减趋于 0），则交错级数 \(\sum(-1)^{n-1}a_n\) 收敛，且余项估计 \(|R_n|=|\sum_{k=n+1}^\infty(-1)^{k-1}a_k|\le a_{n+1}\)。
证明
偶部分和 \(S_{2n}\) 单调递增有上界（\(S_{2n}=S_{2n-2}+(a_{2n-1}-a_{2n})\ge S_{2n-2}\)，且 \(\le S_1\)），奇部分和 \(S_{2n-1}\downarrow\) 有下界；且 \(S_{2n}-S_{2n-1}=-a_{2n}\to0\)，故两者同极限，级数收敛。余项是收敛级数的尾和，同号交错，其和绝对值不超过首项 \(a_{n+1}\)。
\(\sum|a_n|\) 收敛称绝对收敛；收敛但不绝对收敛称条件收敛。绝对收敛 ⟹ 收敛（由 Cauchy 准则：\(|\sum_{m+1}^n a_k|\le\sum_{m+1}^n|a_k|\)）。
Abel / Dirichlet 判别（条件收敛的工具）：\(\sum a_nb_n\) 收敛，若 \(\sum a_n\) 收敛（或部分和有界）且 \(\{b_n\}\) 单调趋于 0（Abel 变换 / 分部求和）。典型：\(\sum\frac{\sin nx}{n}\) 条件收敛（\(x\not\equiv0\pmod{2\pi}\)）。
级数 \(\sum u_n(x)\) 在集合 \(E\) 上逐点收敛于 \(S(x)\)：每点 \(x\) 处数项级数收敛。一致收敛：
\[\forall\varepsilon>0,\exists N(\varepsilon),\quad n>N\Rightarrow\sup_{x\in E}|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon,\]
即余项 整体 小于 \(\varepsilon\)（\(N\) 与 \(x\) 无关）。等价用 Cauchy 一致准则：\(\sup_x|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\to0\)。
若存在常数 \(M_n\) 使 \(|u_n(x)|\le M_n\) 于 \(E\) 且 \(\sum M_n\) 收敛，则 \(\sum u_n(x)\) 在 \(E\) 上一致收敛（且绝对收敛）。
这是"优级数判别法"，对幂级数在收敛域内闭区间上的应用最为常见。
证明
对任意 \(x\in E\)：\(|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\le\sum_{k=n+1}^{n+p}|u_k(x)|\le\sum_{k=n+1}^{n+p}M_k\)。因 \(\sum M_k\) 收敛，由数项级数 Cauchy 准则，\(\sum_{k=n+1}^{n+p}M_k<\varepsilon\) 对 \(n>N\) 一致成立（与 \(x\) 无关），故 \(\sup_x|S_{n+p}(x)-S_n(x)|<\varepsilon\)，由 Cauchy 一致准则一致收敛。
\(\sum u_n\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛到 \(S\)：(1) 连续性：每项连续 ⟹ \(S\) 连续（极限与求和可交换）；(2) 逐项积分：每项可积 ⟹ \(\int_a^b S=\sum\int_a^b u_n\)；(3) 逐项微分：每项可导、\(\sum u_n'\) 一致收敛、\(\sum u_n\) 至少一点收敛 ⟹ \(S'=\sum u_n'\)。
⚠ 逐点收敛不足以交换极限与积分（反例见 7.3）。
证明要点（连续性）
一致收敛：\(S=S_n+R_n\) 且 \(\sup|R_n|<\varepsilon/3\)（\(n>N\)）。每项连续 ⟹ 部分和 \(S_n\) 连续：\(\exists\delta\) 使 \(|x-x_0|<\delta\Rightarrow|S_n(x)-S_n(x_0)|<\varepsilon/3\)。则 \(|S(x)-S(x_0)|\le|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\varepsilon\)。
逐项积分：\(\int_a^b S-\sum_{k=1}^n\int_a^b u_k=\int_a^b R_n\)，被 \(|\int R_n|\le\int|R_n|\le(b-a)\sup|R_n|\to0\) 控制。逐项微分：对 \(T=\sum u_n'\)（一致收敛、连续 ⟹ 可积）逐项积分再用 (1)。
幂级数 \(\sum a_nx^n\) 的收敛域是 关于 0 的区间：
\[R=\frac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}\quad(\text{Cauchy-Hadamard})\qquad\text{或}\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\ (\text{比值，若存在}),\]
在 \(|x|
\(f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) 的充要条件：Taylor 余项 \(R_n(x)\to0\)（在展开区间上）。
标准展开（收敛域内成立）：\(e^x=\sum\frac{x^k}{k!}\)（\(\mathbb{R}\)），\(\sin x,\cos x\)（\(\mathbb{R}\)），\(\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}\)（\(-1
证明要点（余项估计）
对 \(e^x\)：Lagrange 余项 \(R_n(x)=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}\)，因 \(|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}|\to0\)（比值 \(|\frac{x}{n+2}|\to0\)），故 \(R_n\to0\)。对 \(\ln(1+x)\)：用积分型余项或直接证等比求和取极限：\(\frac{1}{1+t}=1-t+\cdots+(-1)^{n-1}t^{n-1}+(-1)^n\frac{t^n}{1+t}\)，积分后余项 \(\int_0^x\frac{(-t)^n}{1+t}\mathrm{d}t\)，\(|x|\le1\) 时趋于 0（用 Abel 定理可强化端点收敛）。
\(2\pi\) 周期函数 \(f\) 的 Fourier 级数：\(f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)，系数 \(a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x\)，\(b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x\)。
收敛性（Dirichlet 条件）：若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上分段单调、分段连续，则 Fourier 级数在连续点收敛于 \(f(x)\)，在跳跃间断点收敛于 \(\frac{f(x^+)+f(x^-)}2\)。级数的一致收敛条件：\(f\) 连续且分段光滑。
06多元微分学
本层把一元微积分推广到高维：极限与连续用"距离"统一表述；全微分是线性主部（本质上是线性映射）；偏导数与方向导数从坐标方向逼近；隐函数定理与 Lagrange 乘子法是最重要的应用出口。
\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\)：\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)，\(0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\Rightarrow|f-A|<\varepsilon\)。连续定义同前。
⚠ 多元极限的"趋近方式"无限多：沿不同路径极限不同 ⟹ 极限不存在（如沿 \(y=kx\) 得不同值）；沿所有直线路径极限存在且相等，仍可能不存在（如 \(y=x^2\) 路径）。
偏导数：\(f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)（把其余变量固定）。
全微分：\(\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})\) 则称 \(f\) 可微，微分 \(\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y\)。关系：可微 ⟹ 连续且偏导存在；偏导存在 ⟹ 不一定连续（如 \(f=\frac{xy}{x^2+y^2}\) 于 \((0,0)\)），更不一定可微。
(1) 偏导数连续 ⟹ 可微；(2) 方向导数：可微时沿单位方向 \(\mathbf{u}=(u_1,u_2)\) 的方向导数 \(D_{\mathbf{u}}f=f_xu_1+f_yu_2=\nabla f\cdot\mathbf{u}\)，其最大值 \(=\|\nabla f\|\)（沿梯度方向）；梯度 \(\nabla f=(f_x,f_y)\) 是增长最快的方向。
证明（偏导连续 ⟹ 可微）
用两次一元中值定理把增量拆为两步：
\(\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\)
分别对 \(x,y\) 用 Lagrange 中值：\(=f_x(\xi_1,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,\xi_2)\Delta y\)，其中 \(\xi_1,\xi_2\) 介于两点间。由偏导连续性 \(f_x(\xi_1,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha\)、\(f_y(x_0,\xi_2)=f_y(x_0,y_0)+\beta\) 且 \(\alpha,\beta\to0\)，故 \(\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y\)，而 \(|\alpha\Delta x+\beta\Delta y|\le(|\alpha|+|\beta|)\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=o(\rho)\)。
\(z=f(u,v)\) 可微，\(u=u(x,y),v=v(x,y)\) 偏导存在，则
\[z_x=f_u u_x+f_v v_x,\qquad z_y=f_u u_y+f_v v_y.\]
记忆：偏导沿"路径树"求和（每条路径 = 一阶偏导相乘）。一阶全微分形式不变性：\(\mathrm{d}z=f_u\mathrm{d}u+f_v\mathrm{d}v\) 不论 \(u,v\) 是自变量还是中间变量都成立。
\(F(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 邻域内连续可偏导，\(F(x_0,y_0)=0\) 且 \(F_y(x_0,y_0)\ne0\)，则存在邻域内唯一连续可导的隐函数 \(y=y(x)\) 满足 \(F(x,y(x))\equiv0\)、\(y(x_0)=y_0\)，且
\[y'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.\]
多元推广：方程组 \(F_i(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)=0\)（\(i=1,\dots,n\)）在 Jacobi 行列式 \(\frac{\partial(F_1,\dots,F_n)}{\partial(y_1,\dots,y_n)}\ne0\) 处局部唯一解出 \(y_j=y_j(x)\)。条件本质：线性化后的系数矩阵可逆。
证明思想（压缩映射 / 迭代）
把方程 \(F(x,y)=0\) 改写为不动点方程 \(y=y-\frac{F(x,y)}{F_y(x_0,y_0)}=:\Phi_x(y)\)。由 \(F_y(x_0,y_0)\ne0\) 与偏导连续，在充分小邻域内 \(\Phi_x\) 是 压缩映射（\(|\Phi_x(y_1)-\Phi_x(y_2)|\le q|y_1-y_2|\)，\(q<1\)），由压缩映射原理存在唯一不动点 \(y(x)\)。可微性：对 \(F(x,y(x))=0\) 用链式法则 \(F_x+F_y\,y'=0\) 得公式。
(1) 中值定理：\(f\) 在凸区域上可微，则 \(f(b)-f(a)=\nabla f(\xi)\cdot(b-a)\)（\(\xi\) 在 \(a,b\) 连线上）；
(2) 二阶 Taylor（\(\xi=x_0+t(x-x_0)\)）：
\[f(x)=f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot h+\frac12 h^T H_f(\xi) h,\]
其中 \(H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}\) 为 Hessian 矩阵（对称）。二阶偏导连续时混合偏导可交换：\(f_{xy}=f_{yx}\)。
必要条件：可微函数在内部极值点处 \(\nabla f=0\)（驻点）。
充分条件：驻点处若 Hessian 正定（\(f_{xx}>0,\ |H|>0\)）⟹ 极小值；负定 ⟹ 极大值；不定 ⟹ 鞍点；半定需高阶判定。
条件极值（Lagrange 乘子法）：约束 \(g(x,y)=0\) 下，\(f\) 的极值点满足 \(\nabla f=\lambda\nabla g\)（引入乘子 \(\lambda\)，与 \(g=0\) 联立求解）。几何解释：极值点处 \(f\) 的等值线与约束曲线相切。
证明要点（乘子法的几何论证）
若 \(g(x_0,y_0)=0\) 且 \(\nabla g(x_0,y_0)\ne0\)，由隐函数定理（\(\frac{\partial g}{\partial y}\ne0\) 时）解出 \(y=y(x)\)，条件极值化为一元函数 \(\varphi(x)=f(x,y(x))\) 的驻点：\(\varphi'=f_x+f_y y'=f_x-f_y\frac{g_x}{g_y}=0\)，即 \(\frac{f_x}{g_x}=\frac{f_y}{g_y}=\lambda\)，得 \(\nabla f=\lambda\nabla g\)。多约束情形同理（多个乘子）。
07多元积分学与速查
复习到这一步做最后收束：多元积分把一元定积分沿"维数"与"曲线曲面"推广，三大公式（Green / Gauss / Stokes）统一了"边界积分 = 内部导数积分"；随后过一遍核心证明清单、高频是非辨析与常见反例。"先陈述条件，再给结论"是口述定理的标准姿势——条件（连通、单连通、光滑、定向）决定公式是否成立。
二重积分 \(\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)：把 \(D\) 剖分为小矩形，Riemann 和取极限（有界闭区域 + 分片连续可积）。化累次积分（Fubini）：\(\iint_D f=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f\,\mathrm{d}y\)（区域规则时）。
换元公式（\(x=x(u,v)\) 可微同胚，Jacobi \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne0\)）：
\[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\]
极坐标 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)：\(|J|=r\)；球坐标：\(|J|=\rho^2\sin\varphi\)。三重积分类似。
(1) 第一类（对弧长）：\(\int_L f\,\mathrm{d}s=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm{d}t\)，与方向无关；(2) 第二类（对坐标）：\(\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_a^b(Px'+Qy')\,\mathrm{d}t\)，反向变号。
(3) Green 公式：\(P,Q\) 在闭区域 \(D\)（边界 \(L\) 正向：内部在左）上有连续偏导，则
\[\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\]
推论（积分与路径无关）：单连通区域上 \(\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\) 对一切闭路 ⟺ \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\) ⟺ 存在势函数 \(u\) 使 \(\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\)（全微分求积）。
证明思想（化累次积分）
对"\(x\)-型区域" \(D=\{(x,y):a\le x\le b,\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\}\) 证明 \(\oint_L P\,\mathrm{d}x=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\)：左端沿上下边界 \(=\int_a^b P(x,y_1)\,\mathrm{d}x-\int_a^b P(x,y_2)\,\mathrm{d}x\)，右端 \(=\int_a^b\int_{y_1}^{y_2}\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_a^b[P(x,y_2)-P(x,y_1)]\,\mathrm{d}x\)，两者相差符号；对 \(Q\) 项用 \(y\)-型区域同理，相加即得。一般区域可分割为标准区域再相加。
Gauss 公式（散度定理）：向量场 \(\mathbf{F}=(P,Q,R)\) 在空间闭区域 \(\Omega\)（边界曲面 \(\partial\Omega\) 外侧）上有连续偏导，则
\[\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V=\oiint_{\partial\Omega}P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\]
Stokes 公式（旋度定理）：光滑曲面 \(S\)（边界 \(\partial S\) 正向）上，
\[\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\cdots=\oint_{\partial S}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z.\]
统一图景：边界上的积分 = 内部"导数"的积分（Newton-Leibniz 是高维原型）：\(1\)-维 N-L ⟶ \(2\)-维 Green ⟶ 空间 Gauss / Stokes。散度 \(\nabla\cdot\mathbf{F}\) 刻画源，旋度 \(\nabla\times\mathbf{F}\) 刻画涡旋。
7.1 核心证明清单（按优先级）
| 证明 | 核心步骤速记 |
|---|---|
| ① 极限唯一性 | 取 \(\varepsilon=|a-b|/2\)，三角不等式导出矛盾 |
| ② 单调有界定理 | 确界原理：\(a=\sup\{a_n\}\)，\(a-\varepsilon\) 不是上界 |
| ③ 区间套 / 致密性 | 二分区间套取交点；每层含无穷项挑出子列 |
| ④ Cauchy 准则 | ⟸：有界（\(\varepsilon=1\)）⟹ 收敛子列 ⟹ 拼回原列 |
| ⑤ 有限覆盖定理 | 反证 + 二分：某半区间不可有限覆盖，交点被单个开集吞掉 |
| ⑥ Heine 归结原则 | ⟸ 反证取 \(x_n\)（\(\delta=1/n\)）构造矛盾数列 |
| ⑦ 最值定理 | 反证无上界取 \(f(x_n)>n\)，致密性子列 + 连续性矛盾 |
| ⑧ 介值 / 零点定理 | 二分区间套，交点处连续性 ⟹ \(g(\xi)=0\) |
| ⑨ Cantor 一致连续 | 有限覆盖取 \(\delta\) 为 \(\delta_x/2\) 的最小值；或反证两点列 |
| ⑩ Rolle → Lagrange → Cauchy | 辅助函数"减去弦线"化归 Rolle；Cauchy 用参数化辅助函数 |
| ⑪ Taylor（Lagrange 余项） | \(F(t)\) 关于 \(t\)，Cauchy 中值定理一步到位 |
| ⑫ 变上限积分 ⟹ N-L 公式 | 积分中值 ⟹ \(F'=f\)；两原函数差为常数 |
| ⑬ 连续 ⟹ 可积 | Cantor 一致连续 ⟹ 振幅和 \(\to0\) |
| ⑭ 比值 / 根值判别 | 与等比级数比较；\(l<1\) 时尾部被 \(r^n\) 控制 |
| ⑮ Leibniz 判别 | 偶（奇）部分和单调有界，差 \(a_n\to0\) |
| ⑯ M 判别与逐项性质 | 优级数 Cauchy 准则；连续性用 \(\varepsilon/3\) 三明治 |
| ⑰ 偏导连续 ⟹ 可微 | 两次一元中值定理拆增量，误差 \(o(\rho)\) |
| ⑱ 隐函数定理 | 压缩映射不动点；链式法则求导得 \(y'=-F_x/F_y\) |
7.2 高频是非辨析
| 命题 | 判断 | 理由 / 反例 |
|---|---|---|
| 收敛数列必有界；有界数列必有收敛子列 | 是 | 定理 1.3(2) 与致密性定理 1.6 |
| 有界数列必收敛 | 否 | \((-1)^n\)：有界、无极限 |
| \(a_n\to0\Rightarrow\sum a_n\) 收敛 | 否 | 调和级数：通项趋 0 但发散 |
| 连续函数在开区间上有最大值 | 否 | \(f(x)=x\) 于 \((0,1)\)：无最值；闭区间才是前提 |
| 可导 ⟹ 连续；连续 ⟹ 可导 | 是 / 否 | 可导必连续；\(|x|\) 连续不可导（定理 3.3） |
| 极值点处导数必为 0 | 否 | \(|x|\) 在 0 处取极值但不可导；Fermat 需"可导"条件 |
| 导数有介值性 ⟹ 导数连续 | 否 | Darboux 定理只给介值性；\(x^2\sin(1/x)\) 的导数不连续但有介值性 |
| 连续 ⟹ 可积 | 是 | 定理 4.2：连续 ⟹ 振幅和趋于 0 |
| 可积 ⟹ 连续 | 否 | 阶梯函数可积但不连续；Dirichlet 函数有界但不可积 |
| \(\int_a^b f=0\) 且 \(f\ge0\Rightarrow f\equiv0\) | 是 | 需 \(f\) 连续：若某点 \(f>0\)，邻域内积分 >0 |
| \(\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\) ⟹ 级数发散 | 否 | \(\sum\frac1{n^2}\)：比值极限 1 但收敛（判别失效 ≠ 发散） |
| 逐点收敛的函数项级数可逐项积分 | 否 | 需一致收敛（定理 5.8），反例见 7.3 |
| 幂级数在收敛区间端点处必发散 | 否 | \(\sum\frac{x^n}{n}\)：\(R=1\)，\(x=-1\) 处收敛（Leibniz） |
| 偏导存在 ⟹ 可微（连续） | 否 | \(f=\frac{xy}{x^2+y^2}\)（0 处延拓 0）：偏导存在但不连续、不可微 |
| 可微 ⟹ 偏导存在且连续 | 否 | 可微只给偏导存在；偏导未必连续 |
| Green 公式 ⟺ 积分与路径无关（单连通） | 是 | 定理 7.2 推论；非单连通（含洞区域）失效 |
7.3 常见反例清单
- Dirichlet 函数（有理点 1、无理点 0）：有界但处处不连续、不可积——"有界可积 ⟺ 间断点集合足够小"的警示。
- 调和级数 \(\sum\frac1n\)：通项趋 0 仍发散；\(\sum\frac1{n^2}\) 收敛（p-级数，\(p>1\)）。
- \((-1)^n\)：有界无极限；\((-1)^n\cdot n\)：无界无极限。
- \(f(x)=\sin\frac1x\)（\(x\ne0\)）：在 0 附近振荡，极限不存在（第二类振荡间断）。
- \(f(x)=x^2\sin\frac1{x^2}\)（\(x\ne0\)，\(f(0)=0\)）：处处可导但导数在 0 附近无界、不连续——可导函数导数不必连续（对照 Darboux）。
- \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)（\(0\) 处延拓 0）：沿任意直线路径极限为 0，但沿 \(y=x^2\)（或 \(y=kx\) 取不同 \(k\)）极限不同——沿所有直线收敛 ≠ 极限存在；且偏导存在但不连续、不可微。
- 逐点收敛不能交换极限与积分：\(u_n(x)=n x(1-x^2)^n\) 于 \([0,1]\) 逐点收敛到 0，但 \(\int_0^1 u_n=\frac{n}{2(n+1)}\to\frac12\ne0\)——必须一致收敛（定理 5.8）。
- \(f(x)=1/x\) 于 \((0,1]\)：连续但不一致连续——开区间上 Cantor 定理失效（闭区间才是条件）。
- \(\sum\frac{x^n}{n}\)：收敛半径 1；在 \(x=1\) 发散（调和）、\(x=-1\) 收敛（Leibniz）——端点需逐点判定。
7.4 考前自检清单
- 能否默写 ε-N 与 ε-δ 定义，并说明"收敛 ⟹ 有界"与"有界 ⟹ 有收敛子列"的区别？
- 能否独立走通"确界原理 ⟹ 单调有界 ⟹ 区间套 ⟹ 致密性 ⟹ Cauchy 准则"的完整证明链？
- 能否用 Heine 归结原则证明函数极限不存在（构造两路径）？
- 能否默写 Cantor 一致连续定理的有限覆盖证明？
- 能否从 Rolle 定理出发依次推导 Lagrange、Cauchy、Taylor（Lagrange 余项）？
- 能否用中值定理证明"\(f'\equiv0\Rightarrow f\) 常数"与凸性判别？
- 能否说明连续 ⟹ 可积的证明依赖一致连续（Cantor）？
- 能否区分逐点收敛与一致收敛，并构造"逐项积分失败"的反例？
- 能否讲清偏导存在、可微、连续三者的包含关系与反例？
- 能否把 N-L、Green、Gauss、Stokes 统一叙述为"边界积分 = 内部导数积分"？