高等代数复习资料

带余除法的存在性（归纳于次数）：若 \(\deg f<\deg g\)，取 \(q=0,r=f\)。否则设 \(f=a_nx^n+\cdots\)，\(g=b_mx^m+\cdots\)，\(n\ge m\)。令 \(f_1=f-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g\)，则 \(\deg f_1<\deg f\)，对 \(f_1\) 归纳得 \(f_1=q_1g+r\)，于是 \(f=(q_1+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m})g+r\)。

唯一性：若 \(qg+r=q'g+r'\)，则 \((q-q')g=r'-r\)；若 \(q\ne q'\)，则 \(\deg((q-q')g)\ge\deg g>\deg(r'-r)\)，矛盾，故 \(q=q',r=r'\)。

⟸：若 \(d=uf+vg\) 且 \(d\mid f,d\mid g\)，则任意公因式整除 \(d\)，\(d\) 为最大公因式。

⟹：辗转相除法反向回代。辗转相除得 \(r_{k+1}=r_{k-1}-q_kr_k\)，从最后的非零余式 \(r_s=d\) 逐层把前式代入，最终把 \(d\) 表示为 \(f,g\) 的线性组合；归一化即得首一最大公因式的组合表示。

素元性质：设 \(p\mid fg\) 且 \(p\nmid f\)。因 \(p\) 不可约，\(\gcd(p,f)=1\)，存在 \(u,v\) 使 \(up+vf=1\)；乘 \(g\)：\(upg+vfg=g\)，右边两项都被 \(p\) 整除，故 \(p\mid g\)。

存在性（归纳于次数）：非常数 \(f\) 若不可约即已完成；否则 \(f=gh\)（\(\deg g,\deg h<\deg f\)），对 \(g,h\) 归纳。

唯一性（归纳于不可约因子个数）：设 \(p_1\cdots p_s=q_1\cdots q_t\)（忽略首一常数）。因 \(p_1\mid q_1\cdots q_t\)，反复用素元性质（定理 1.5 推论）得 \(p_1\mid q_j\) 对某 \(j\)；\(p_1,q_j\) 均首一不可约，故 \(p_1=q_j\)。两边约去后归纳完成。

设 \(f=p^k g\)，\(p\nmid g\)。求导：\(f'=kp^{k-1}p'g+p^k g'=p^{k-1}(kp'g+pg')\)。括号内不能被 \(p\) 整除：若 \(p\mid(kp'g+pg')\)，则 \(p\mid kp'g\)；因 \(p\nmid g\)，\(p\nmid k\)（\(\deg p\ge1\)），须 \(p\mid p'\)，这与 \(\deg p'<\deg p\) 矛盾。故 \(f'\) 恰含 \(p^{k-1}\)。

于是 \(f\) 无重因式 \(\iff\) 每个不可约因子在 \(f'\) 中次数降 1、仍保留 \(\iff\) 无公因子 \(\iff\gcd(f,f')=1\)。

(1) 设 \(fg=h\) 不本原，则存在素数 \(p\) 整除 \(h\) 的全部系数；把 \(f,g,h\) 的系数模 \(p\)，得 \(\overline{f}\,\overline{g}=\overline{h}=0\) 于 \(\mathbb{F}_p[x]\)。但 \(\mathbb{F}_p[x]\) 是整环，\(\overline{f}=0\) 或 \(\overline{g}=0\)，即 \(p\) 整除 \(f\) 或 \(g\) 的全部系数，与"本原"矛盾。

(2) 有理系数分解 \(f=g_1g_2\)：乘以公分母化为整系数，提取内容（系数最大公因数）成 \(\pm\) 本原部分，由 (1) 乘积仍本原、内容相乘，得整系数分解。

(3) 代入 \(f(p/q)=0\) 乘以 \(q^n\)：\(a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_0q^n=0\)，模 \(p\) 得 \(a_0q^n\equiv0\)，\(p\mid a_0\)；模 \(q\) 得 \(a_np^n\equiv0\)，\(q\mid a_n\)。

反设 \(f=gh\)，\(g,h\in\mathbb{Z}[x]\) 次数 \(\ge1\)（Gauss 引理化归）。设 \(g=b_sx^s+\cdots+b_0\)，\(h=c_tx^t+\cdots+c_0\)。

比较常数项：\(a_0=b_0c_0\)，\(p\mid a_0\) 但 \(p^2\nmid a_0\)，故 \(b_0,c_0\) 恰有一个被 \(p\) 整除，设 \(p\mid b_0\)，\(p\nmid c_0\)。

因 \(p\mid a_1,\dots,a_{n-1}\) 而 \(p\nmid a_n\)，令 \(k\) 为 \(b_0,\dots,b_k\) 中首个不被 \(p\) 整除的下标，则 \(a_k=\sum_{i+j=k}b_ic_j\) 中除 \(b_kc_0\) 外各项均含因子 \(p\)，而 \(b_kc_0\not\equiv0\pmod p\)，故 \(p\nmid a_k\)，与 \(k\le\deg g\le n-1\) 时 \(p\mid a_k\) 矛盾；故 \(k\) 不存在，即 \(g\) 的全部系数被 \(p\) 整除，矛盾于 \(p\nmid a_n\)。

按排列求和的定义中，固定第 \(i\) 行选中的列 \(j\)，其余 \(n-1\) 个元素构成 \(M_{ij}\) 上的排列求和；符号：整体排列的逆序数 = 第 \(j\) 个元素与前面元素的逆序贡献（即 \((-1)^{i+j}\)）加子排列的逆序数，故符号为 \((-1)^{i+j}\mathrm{sgn}(\pi')\)。对 \(j\) 求和即得。\(i\ne k\) 情形等价于"两行相同"的行列式，为 0。

由 \(|A|\ne0\) 知 \(A\) 可逆，解为 \(x=A^{-1}b\)。展开 \(x_j\)：由 \(A^{-1}=A^*/|A|\)，\(x_j=\frac{1}{|A|}\sum_i b_i A_{ij}\)。而 \(\sum_i b_i A_{ij}\) 恰是按第 \(j\) 列展开 \(|A_j|\)（把 \(A_j\) 的第 \(j\) 列换成 \(b\) 后沿该列展开），故 \(x_j=|A_j|/|A|\)。唯一性由逆矩阵唯一。

从最后一行起逐行减去前一行的 \(x_1\) 倍：第 \(k\) 行变为 \((x_i^{k-1}-x_1x_i^{k-2})=(x_i-x_1)x_i^{k-2}\)。对第 \(2\sim n\) 列提取因子 \((x_i-x_1)\)，行列式化为 \(\prod_{i=2}^{n}(x_i-x_1)\cdot\det V(x_2,\dots,x_n)\)，对 \(n-1\) 阶 Vandermonde 归纳即得 \(\prod_{1\le i

行初等变换不改变解集与秩。化增广矩阵为行阶梯形后：相容 ⟺ 不出现"\(0=\text{非零常数}\)"的矛盾行 ⟺ 最后一列不在主元列之外多出非零元 ⟺ 主元列数相同，即 \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)\)。

有解时，把自由变量（非主元列）任取参数，主元变量由方程唯一解出，得参数化解；参数个数 = \(n-r\)，对应齐次基础解系张成的解空间。

化行最简形后把自由变量 \(x_{j_1},\dots,x_{j_{n-r}}\) 分别取 \((1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,1)\)，由主元变量随之确定，得 \(n-r\) 个解 \(\xi_1,\dots,\xi_{n-r}\)。它们线性无关（自由变量部分恰为标准基）；任解 \(\xi\) 的"自由部分"是这些 \(\xi_k\) 的线性组合，作差得一个自由部分全为 0 的解，主元变量必全 0（方程逐行回代），故该差为 0，即 \(\xi\) 是 \(\xi_k\) 的组合。所以是基础解系。

(1) 由定义展开双重求和：\(\big((AB)C\big)_{il}=\sum_k(\sum_j a_{ij}b_{jk})c_{kl}=\sum_j a_{ij}\big(\sum_k b_{jk}c_{kl}\big)=\big(A(BC)\big)_{il}\)。

(2)-(4) 都是反例：乘法非交换、非整环、消去律失效——与多项式环（第 1 章）形成对比，矩阵环 \(M_n(F)\) 不是整环。

② ⟹ ③：\(|A|\ne0\) 时行向量线性无关，秩满。③ ⟹ ④：行阶梯形有 \(n\) 个主元，继续化行最简形得 \(I_n\)。④ ⟹ ⑤：初等行变换 ⟺ 左乘初等矩阵，\(PA=I\Rightarrow A=P^{-1}\) 为初等矩阵之积。⑤ ⟹ ①：初等矩阵可逆。① ⟹ ⑥：\(Ax=0\Rightarrow x=A^{-1}0=0\)。⑥ ⟹ ②：\(Ax=0\) 有非零解 ⟺ \(r

伴随公式：直接展开 \(\sum_k a_{ik}A_{jk}\)：\(i=j\) 时是 \(|A|\)（按行展开），\(i\ne j\) 时是"两行相同"的行列式，为 0；故 \(AA^*=|A|I\)。除以 \(|A|\) 即得逆公式。

Gauss 消元保证行初等变换化行阶梯形；阶梯形中 \(r\) 个非零行的主元在 \(j_1<\cdots

相抵 ⟺ 同秩：标准形由 \(r\) 唯一确定，初等变换保持秩（初等变换不改行/列向量组的秩）。

(1) 行初等变换保持行秩也保持列秩（初等变换是行的线性组合），化行阶梯形后行秩 = 列秩 = 非零行数。

(2) \(AB\) 的列向量是 \(A\) 的列向量的线性组合（\(B\) 的列是组合系数），故 \(\mathrm{rank}(AB)\le\mathrm{rank}(A)\)；由转置对称得另一侧。

(3) \((A+B)\) 的列向量都在 \(A\) 的列与 \(B\) 的列张成的空间中：\(\mathrm{rank}(A+B)\le\dim(\mathrm{im}A+\mathrm{im}B)\le\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B\)。

配方法：若 \(a_{11}\ne0\)，把含 \(x_1\) 的项配成 \(a_{11}(x_1+\frac1{a_{11}}\sum_{j>1}a_{1j}x_j)^2\) 加剩余部分（不含 \(x_1\)），令 \(y_1=x_1+\cdots\) 得平方项，其余变量继续；若所有 \(a_{ii}=0\) 但某 \(a_{ij}\ne0\)（\(i\ne j\)），先用 \(x_i=u+v,\ x_j=u-v\) 的替换造出平方项。有限步得标准形。等价地可用对称初等变换（成对的行列变换）直接对 \(A\) 操作。

设两次化规范形得 \(p_1,q_1\) 与 \(p_2,q_2\)，须证 \(p_1=p_2\)（进而 \(q\) 相等）。反设 \(p_1>p_2\)：令 \(W_1\) 为第一个替换下"前 \(p_1\) 个坐标"生成的子空间（其上 \(f>0\)，除 0 外），\(W_2\) 为第二个替换下"后 \(n-p_2\) 个坐标"生成的子空间（其上 \(f\le0\)）。维数：\(\dim W_1+\dim W_2=p_1+(n-p_2)>n\)，故 \(W_1\cap W_2\ne\{0\}\)；取非零 \(x\in W_1\cap W_2\)，一方面 \(f(x)>0\)，另一方面 \(f(x)\le0\)，矛盾。

①⟺②：合同不改变惯性指数，正交对角化（第 7 章谱定理）把 \(A\) 化为特征值对角阵，正定性 ⟺ 特征值全正。

⑤ 顺序主子式判据：充分性用归纳——把 \(A\) 分块为 \(\begin{pmatrix}A_{n-1}&\alpha\\\alpha^T&a_{nn}\end{pmatrix}\)，由 \(|A_{n-1}|>0\) 归纳 \(A_{n-1}\) 正定，做合同变换消去 \(\alpha\)，末元素 \(a_{nn}-\alpha^TA_{n-1}^{-1}\alpha=|A|/|A_{n-1}|>0\)，得正定。必要性：正定矩阵的顺序主子阵仍正定（限制在子空间上）。

核心是 Steinitz 替换：若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 线性无关、\(\beta_1,\dots,\beta_n\) 生成 \(V\)，则 \(m\le n\) 且可把其中 \(m\) 个 \(\beta\) 换成 \(\alpha\) 仍生成 \(V\)。证明：逐个 \(\alpha\) 加入，若它落在已生成子空间中则被前 \(m\) 个 \(\beta\) 线性表出，系数不全零，用 \(\alpha\) 替换系数非零的 \(\beta\)；否则 \(\alpha\) 与已替换组无关，直接加入。替换过程保持生成性与无关性。

由此：两组基互相替换 ⟹ 基数相等；"无关组 ⟹ 可扩为基"（加入生成组中元素逐个替换）。

取 \(W_1\cap W_2\) 的基 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k\)，分别扩为 \(W_1\) 的基 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k,\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 与 \(W_2\) 的基 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k,\beta_1,\dots,\beta_t\)。

断言 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k,\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_t\) 是 \(W_1+W_2\) 的基：显然生成；线性无关——若线性组合为 0，把含 \(\beta\) 的项移项，左边属于 \(W_1\)、右边属于 \(W_2\)，故同属于交集，由 \(\gamma\) 的基表出；\(\gamma,\alpha\) 线性无关迫使系数全 0。于是 \(\dim(W_1+W_2)=k+s+t=\dim W_1+\dim W_2-k\)。

取 \(\ker T\) 的基 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k\)，扩为 \(V\) 的基 \(\gamma_1,\dots,\gamma_k,\beta_1,\dots,\beta_{n-k}\)。断言 \(T(\beta_1),\dots,T(\beta_{n-k})\) 是 \(\mathrm{Im}\,T\) 的基：

生成性：任意 \(T(x)\)，\(x=\sum a_i\gamma_i+\sum b_j\beta_j\)，则 \(T(x)=\sum b_jT(\beta_j)\)。线性无关：若 \(\sum c_jT(\beta_j)=0\)，则 \(T(\sum c_j\beta_j)=0\)，\(\sum c_j\beta_j\in\ker T\)，被 \(\gamma\) 表出；\(\gamma,\beta\) 线性无关 ⟹ 系数全 0。故 \(\dim\mathrm{Im}\,T=n-k\)。

坐标关系：\(\beta_i=\sum_j p_{ji}\alpha_j\) 表示"基向量列"满足 \((\beta)=(\alpha)P\)，于是向量 \(x=(\alpha)x_\alpha=(\beta)x_\beta=(\alpha)Px_\beta\)，由基的线性无关性 \(x_\alpha=Px_\beta\)，即 \(x_\beta=P^{-1}x_\alpha\)。

矩阵关系：\(T(\beta)=T(\alpha)P\)，而 \(T(\alpha)=(\alpha)A\)、\(T(\beta)=(\beta)B=(\alpha)PB\)，比较得 \(AP=PB\)，即 \(B=P^{-1}AP\)。

(1) 特征多项式展开：\((\lambda I-A)\) 的对角元乘积给出 \(\lambda^n-(\sum a_{ii})\lambda^{n-1}\)，常数项为 \((-1)^n\det A\)；比较 Vieta 关系即得。

(2) 设 \(x_1,\dots,x_m\) 分别属于互异 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\)。对 \(m\) 归纳：若有 \(\sum c_i x_i=0\)，左乘 \(A\) 得 \(\sum c_i\lambda_i x_i=0\)；减去 \(\lambda_m\) 倍原式：\(\sum_{i

⟹：对角化 \(P^{-1}AP=D\) 时，\(P\) 的列是特征向量，构成基。

⟸：设特征值 \(\lambda_1,\dots,\lambda_s\)，各特征子空间维数 \(d_i\)，若 \(\sum d_i=n\)，由定理 6.2(2) 各 \(E_{\lambda_i}\) 的基并起来线性无关（不同特征值间无关、同特征值内是基），构成 \(n\) 个向量，故为基；在此基下 \(A\) 为对角阵。几何重数 ≤ 代数重数恒成立（特征子空间维数不超过特征多项式中根的重数），故"全部取等" ⟺ 维数和 = \(n\)。

对 \(\lambda I-A\) 写伴随：\((\lambda I-A)(\lambda I-A)^*=|\lambda I-A|I=f_A(\lambda)I\)。把 \((\lambda I-A)^*\) 按 \(\lambda\) 的幂展开：\((\lambda I-A)^*=B_0\lambda^{n-1}+B_1\lambda^{n-2}+\cdots+B_{n-1}\)。代入并比较 \(\lambda^k\) 系数：

\(B_0=I\)；\(B_k-AB_{k-1}=c_kI\)（\(c_k\) 为特征多项式系数，\(k=1,\dots,n-1\)）；\(-AB_{n-1}=c_nI\)。分别左乘 \(A^n,A^{n-1},\dots,I\) 后相加，中间项交错抵消，得 \(A^n+c_1A^{n-1}+\cdots+c_nI=0\)，即 \(f_A(A)=0\)。

把 \(V\) 按特征值分解为广义特征子空间直和：\(V=\bigoplus_\lambda \ker(\lambda I-A)^{m_\lambda}\)（\(m_\lambda\) 为代数重数，用 C-H 与互素分解证明）。对每个 \(\lambda\)，考虑幂零变换 \(N=A-\lambda I\) 在 \(\ker N^{m}\) 上的 Jordan 链：

取 \(N^m\) 像空间之外、\(N^{m-1}\) 像空间之内的向量 \(x\)（从最深一层逐层取），由 \(x,Nx,N^2x,\dots,N^{m-1}x\) 生成一个 \(N\)-循环子空间，其基 \((N^{m-1}x,\dots,Nx,x)\) 下 \(N\) 是单个 Jordan 块 \(J_m(0)\)。逐层剥离直至空间分解完，得 \(\lambda\) 部分的标准形；对 \(\lambda\) 求和即得。唯一性由不变因子唯一性（定理 6.6）。

对任意 \(t\in\mathbb{R}\)：\(0\le(x+ty,x+ty)=(x,x)+2t(x,y)+t^2(y,y)\)，这是 \(t\) 的二次式恒非负，判别式 \(\le0\)：\(4(x,y)^2-4(x,x)(y,y)\le0\)，即 \(|(x,y)|^2\le(x,x)(y,y)\)。等号 ⟺ 判别式为 0 ⟺ 存在 \(t\) 使 \(x+ty=0\)（线性相关）。

三角不等式：\(\|x+y\|^2=\|x\|^2+2(x,y)+\|y\|^2\le\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2\)。

设 \(\beta_1,\dots,\beta_{i-1}\) 已正交且张成 \(\mathrm{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1}\}\)。定义 \(\beta_i=\alpha_i-\sum_{j

正交补直和：取正交基后，任意 \(x\) 分解为 \(\sum(x,\eta_i)\eta_i\)（属于 \(W\)）加余项（属于 \(W^\perp\)），唯一性由 \((W\cap W^\perp)=\{0\}\)。

特征值实：\(Ax=\lambda x\)（\(x\ne0\)），取共轭转置：\(\bar x^TAx=\lambda\|x\|^2\)；而 \(\bar x^TAx=\overline{x^TAx}=\overline{\lambda\|x\|^2}\)（\(A\) 实对称 ⟹ \(x^TAx\) 为实数），故 \(\lambda=\bar\lambda\)。

正交性：\(\lambda(x,y)=(\lambda x,y)=(Ax,y)=(x,A^Ty)=(x,Ay)=\mu(x,y)\)，\((\lambda-\mu)(x,y)=0\)。

归纳对角化：取特征向量 \(x_1\)（\(\|x_1\|=1\)），令 \(W=\mathrm{span}\{x_1\}^\perp\)；对 \(w\in W\)：\((Aw,x_1)=(w,Ax_1)=\lambda_1(w,x_1)=0\)，故 \(W\) 是 \(A\)-不变子空间。限制 \(A|_W\) 仍实对称，归纳正交对角化；并上 \(x_1\) 得 \(Q\)。