复变函数复习资料

由 \(|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\bar z_1+\bar z_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\operatorname{Re}(z_1\bar z_2) \le |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1\bar z_2| = (|z_1|+|z_2|)^2\)，开方即得。第二个不等式由 \(|z_1| \le |z_1-z_2| + |z_2|\) 与对称性推出。

必要性：令 \(h = \Delta x\) 沿实轴趋近，得 \(f' = u_x + iv_x\)；令 \(h = i\Delta y\) 沿虚轴趋近，得 \(f' = v_y - iu_y\)。两极限必须相等，比较实虚部即得 C–R。偏导数存在性来自极限存在。

充分性：由可微性， \[ \Delta f = (u_x + iv_x)\Delta x + (u_y + iv_y)\Delta y + o(|\Delta z|). \] 利用 C–R：\(u_y + iv_y = -v_x + iu_x = i(u_x + iv_x)\)，于是 \[ \Delta f = (u_x + iv_x)(\Delta x + i\Delta y) + o(|\Delta z|). \] 除以 \(\Delta z = \Delta x + i\Delta y\) 取极限即得 \(f'(z_0) = u_x + iv_x\)。

正向：C–R 求导得 \(u_{xx} = v_{yx}\)、\(u_{yy} = -v_{xy}\)，混合偏导相等 ⟹ \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)，\(v\) 同理。

反向（构造共轭）：由 \(dv = -u_y\,dx + u_x\,dy\)，因 \(\Delta u = 0\) 保证该一次微分形式闭（\(\partial(-u_y)/\partial y = \partial u_x/\partial x\)），单连通区域上闭形式恰当，故线积分 \[ v(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} -u_y\,dx + u_x\,dy \] 与路径无关，定义出调和函数 \(v\)，且 \(v_y = u_x,\ v_x = -u_y\)（C–R），于是 \(f = u+iv\) 解析。

以 \(|f|\) 为例：\(|f|^2 = u^2+v^2 \equiv c\)。若 \(c=0\) 则 \(f\equiv 0\)；若 \(c>0\)，对 \(x,y\) 求导并代入 C–R 得齐次线性方程组 \[ uu_x - vu_y = 0, \qquad vu_x + uu_y = 0, \] 系数行列式 \(u^2+v^2 = c \ne 0\)，故 \(u_x = u_y = 0\)，\(u\) 常数，再由 C–R 得 \(v\) 常数。其余情形类似（如 \(\arg f\) 常数 ⟹ \(f\) 的像落在一条射线上 ⟹ 实虚部成比例 ⟹ 同上论证）。

用辐角原理（定理 7.5）或局部 Taylor 展开：若 \(f\) 在 \(z_0\) 附近以 \(m\) 重取到 \(w_0\)，则对充分接近 \(w_0\) 的 \(w\)，\(f(z)-w\) 在 \(z_0\) 小邻域内恰有 \(m\) 个零点，故 \(w\) 的邻域含于像集。由开映射定理可另证最大模原理。

用 Cauchy 积分公式（5.5）+ 积分与极限交换：在 \(z_0\) 邻域内取围道，\(f\) 由围道积分表示，一致收敛允许把极限移入积分号；再以高阶导数公式（5.6）得逐项求导。这给出"极限保持解析性"的积分证明路径。

若 \(|z|<R\)，取 \(\rho\) 使 \(|z|<\rho<R\)，则 \(|a_n|\rho^n < 1\) 对充分大 \(n\) 成立（由上极限定义），故 \(|a_n z^n| < (\rho/|z|)^{-n}\) 成等比收敛；若 \(|z|>R\)，存在子列使 \(|a_n z^n| > 1\) 无穷多次，通项不趋于 0，级数发散。

对任意 \(z\) 取 \(r\) 使 \(|z-z_0| < r < R\)，围道 \(\gamma = \{|\zeta - z_0| = r\}\)。由 Cauchy 积分公式（5.5）： \[ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta. \] 将几何级数 \(\displaystyle \frac{1}{\zeta - z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_0)^n}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\)（在 \(|\zeta-z_0|=r\) 上关于 \(z\) 一致收敛）代入并交换积分与求和： \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta\right](z-z_0)^n. \] 由高阶导数公式（5.6），方括号内正是 \(f^{(n)}(z_0)/n!\)，得证。唯一性：若 \(\sum a_n(z-z_0)^n = \sum b_n(z-z_0)^n\)，令 \(z\to z_0\) 逐次比较或对展开式在 \(z_0\) 求导即得 \(a_n = b_n\)。

(1) 在 \(z_0\) 处 Taylor 展开，设首个非零系数为 \(a_m\)（\(m\ge 1\)），则 \(f(z) = (z-z_0)^m g(z)\)，其中 \(g\) 解析且 \(g(z_0) = a_m \ne 0\)。由连续性，\(g\) 在 \(z_0\) 某邻域内非零 ⟹ \(f\) 在该邻域除 \(z_0\) 外非零。

(2) 反设 \(f-g\) 非常数，则其零点集在 \(D\) 内的任何聚点都与 (1) 矛盾；故零点集无聚点，与假设相悖。或者：令 \(E = \{z\in D : f = g\}\)，由 (1) 推出 \(E\) 既是开集又（由连续性）是闭集，\(D\) 连通 ⟹ \(E = D\)。

\(\left|\int_\gamma f\,dz\right| \le \int_a^b |f(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|\,dt \le M\int_a^b |\gamma'(t)|\,dt = ML\)。

先证三角形情形：对任意三角形 \(T\)，\(\oint_T f = 0\)。反证：若 \(|\oint_T f| = c > 0\)，把 \(T\) 四等分为四个小三角形，取使积分模最大的一个 \(T_1\)，得 \(|\oint_{T_1} f| \ge c/4\)；递归得收缩三角形列 \(T_n\)，公共点 \(z_0\)。对 \(f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + \varepsilon(z)(z-z_0)\)（\(\varepsilon\to 0\)），常数项与线性项的围道积分均为 0，剩余项由 ML 估计可任意小，矛盾。Goursat 的妙处在于不需要假设 \(f'\) 连续。

再由三角形情形推出多边形与一般可求长闭曲线（逼近 + 割补），即得一般情形。

任意两条同端点路径拼成闭曲线，Cauchy–Goursat ⟹ 积分相等。\(F\) 的可导性由标准极限论证（与 Morera 定理证明共用）给出。

令 \(C_\varepsilon: |z - z_0| = \varepsilon\)（小）。函数 \(f(z)/(z-z_0)\) 在 \(\gamma\) 与 \(C_\varepsilon\) 之间的区域解析，由 Cauchy–Goursat（多连通情形）： \[ \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \oint_{C_\varepsilon} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz. \] 右端拆成两项。其一 \(\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = f(z_0)\oint_{C_\varepsilon}\frac{dz}{z-z_0} = f(z_0)\int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i\,f(z_0)\)。其二由连续性：\(\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(z_0)| \to 0\)，而 \[ \left|\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz\right| \le \frac{\max|f - f(z_0)|}{\varepsilon}\cdot 2\pi\varepsilon = 2\pi\max|f - f(z_0)| \to 0. \] 合并即得 \(f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz\)。

对 \(n=1\)：由 Cauchy 公式的差商 \[ \frac{f(z_0+h) - f(z_0)}{h} = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}\,dz, \] 令 \(h\to 0\)（被积函数一致收敛于 \(f(z)/(z-z_0)^2\)）即得。\(n\) 次情形归纳或直接对被积函数求导。

高阶导数公式 + ML 估计：\(|f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M(r)}{r^{n+1}}\cdot 2\pi r = \frac{n!M(r)}{r^n}\)。

对任意 \(z_0 \in \mathbb{C}\) 与任意 \(r > 0\)，Cauchy 不等式（\(n=1\)）： \[ |f'(z_0)| \le \frac{M(r)}{r}. \] 因 \(f\) 有界（\(M(r) \le M\)），令 \(r \to \infty\) 得 \(f'(z_0) = 0\)。\(z_0\) 任意 ⟹ \(f' \equiv 0\) ⟹ \(f\) 常数。

设 \(P\) 为 \(n\ge 1\) 次多项式。若 \(P\) 无零点，则 \(g = 1/P\) 为整函数。因 \(|z|\to\infty\) 时 \(|P(z)|\to\infty\)，存在 \(R\) 使 \(|z| > R\) 时 \(|g(z)| < 1\)；又 \(g\) 在闭圆盘 \(|z|\le R\) 上连续故有界。于是 \(g\) 有界整函数 ⟹ Liouville ⟹ \(g\) 常数 ⟹ \(P\) 常数，矛盾。

条件 ⟹ 积分与路径无关，定义 \(F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta)\,d\zeta\)。用标准差商论证得 \(F'(z) = f(z)\)，故 \(F\) 解析；又解析函数的导数解析（定理 5.6 推论）⟹ \(f = F'\) 解析。

由 Cauchy 积分公式得平均值性质：\(f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta})\,d\theta\)。设 \(|f(z_0)| = \max_D |f|\)，则 \[ |f(z_0)| \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|f(z_0+re^{i\theta})\right|d\theta \le |f(z_0)|. \] 两处取等 ⟹ \(|f| \equiv |f(z_0)|\) 于圆周 \(|z-z_0|=r\)（连续函数积分取等 ⟹ 处处取等），\(r\) 任意小 ⟹ \(|f|\) 在某邻域内常数 ⟹ 定理 2.6 给出 \(f\) 在该邻域内常数 ⟹ 由唯一性定理（连通扩张）\(f\equiv\) 常数于 \(D\)。

由 \(f(0)=0\) 与 Taylor 展开（或 Riemann 可去奇点定理，6.4），\(g(z) = f(z)/z\) 可定义 \(g(0) = f'(0)\) 且在 \(\Delta\) 内解析。对 \(0 < r < 1\)，在 \(|z| \le r\) 上用最大模原理： \[ |g(z)| \le \max_{|\zeta| = r}|g(\zeta)| = \max_{|\zeta|=r}\frac{|f(\zeta)|}{r} \le \frac{1}{r}. \] 令 \(r \to 1^{-}\) ⟹ \(|g(z)| \le 1\)，即 \(|f(z)| \le |z|\)，且 \(|f'(0)| = |g(0)| \le 1\)。等号成立时 \(|g|\) 在内部取到最大值 ⟹ \(g\) 常数 ⟹ \(f(z) = cz\)，\(|c| = 1\)。

对 \(z\) 取 \(r<r_1<|z-z_0|<r_2<R\)，环域上的 Cauchy 积分公式： \[ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-z_0|=r_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta \;-\; \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-z_0|=r_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta. \] 第一个围道积分中 \(|\zeta - z_0| > |z - z_0|\)，用几何级数展成 \(\sum_{n\ge 0}(z-z_0)^n/(\zeta-z_0)^{n+1}\)（正则部分）；第二个围道积分中 \(|\zeta - z_0| < |z - z_0|\)，把 \(1/(\zeta - z)\) 展成 \(-\sum_{n\ge 1}(z-z_0)^{-n}(\zeta-z_0)^{n-1}\)（主部）。交换积分与求和（一致收敛）得上述公式。唯一性：系数公式即围道积分，与展开无关。

令 \(g(z) = (z - z_0)f(z)\)（\(z \ne z_0\)），定义 \(g(z_0) = 0\)。由条件 \(g\) 在 \(z_0\) 连续且解析，由 Taylor 展开 \(g(z) = \sum_{n\ge 1} b_n (z-z_0)^n = (z-z_0)h(z)\)，其中 \(h\) 解析于全圆盘。于是 \(f(z) = h(z)\) 于去心邻域，\(h\) 给出 \(f\) 在 \(z_0\) 的解析延拓。

② ⟹ ①：\((z-z_0)^m f(z) = g(z)\) 在 \(z_0\) 解析非零，Laurent 展开最低负幂恰为 \(m\)。① ⟹ ②：由主部有限写出 \(f = \frac{a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0)+\cdots}{(z-z_0)^m}\)，分子即 \(g\)。② ⟹ ③：\(1/f = (z-z_0)^m/g\)，\(g(z_0)\ne 0\) 故 \(1/g\) 在 \(z_0\) 解析非零。

反设存在 \(w_0\in\mathbb{C}\) 与 \(\varepsilon > 0\) 使 \(f\) 在某去心邻域内避开圆盘 \(|w-w_0| < \varepsilon\)，即 \(|f(z) - w_0| \ge \varepsilon\)。则 \(g(z) = 1/(f(z) - w_0)\) 在该去心邻域解析且有界 ⟹ 可去（定理 6.4）⟹ \(g\) 可延拓为解析函数，于是 \(f = w_0 + 1/g\) 在 \(z_0\) 处有有限极限或趋于无穷（视 \(g(z_0)\) 是否为零），即 \(z_0\) 为可去奇点或极点，矛盾。

①② 均由 \(f(z) = \frac{a_{-1}}{z-z_0} + \cdots\) 直接取极限得到：① 两边乘 \((z-z_0)\) 取极限；② 两边乘 \((z-z_0)^m\) 后求 \(m-1\) 阶导数并取极限，\((m-1)!\,a_{-1}\) 恰为留下的一项（用定理 6.5 的表示 \(f = g/(z-z_0)^m\) 可一步看出）。③ 由 ①：\(\lim (z-z_0)\frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\)（\(Q(z) = Q'(z_0)(z-z_0)+\cdots\)）。

在 \(\gamma\) 内部每个奇点 \(a_k\) 旁挖去小圆 \(C_k\)，函数在 \(\gamma\) 与各 \(C_k\) 围成的多连通区域上解析，由 Cauchy–Goursat： \[ \oint_\gamma f\,dz - \sum_k \oint_{C_k} f\,dz = 0. \] 每个小圆上的积分等于 \(2\pi i\operatorname{Res}(f, a_k)\)（定义 7.1），即得。

计算 \(f'/f\) 的留数：若 \(f\) 在 \(a\) 处有 \(m\) 阶零点，写 \(f(z) = (z-a)^m g(z)\)（\(g(a)\ne 0\)），则 \[ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{m}{z-a} + \frac{g'(z)}{g(z)}, \] \(g'/g\) 在 \(a\) 处解析 ⟹ \(\operatorname{Res}(f'/f, a) = m\)。极点处同理得留数为 \(-m\)。由留数定理 \(N - P = \frac{1}{2\pi i}\oint f'/f\)。又 \(f'/f = \frac{d}{dz}\log f\)（沿曲线取连续分支），积分即辐角变化除以 \(2\pi\)。

在 \(\gamma\) 上 \(f \ne 0\) 且 \(f+g = f(1 + g/f)\) 也非零。由辐角原理， \[ N(f+g) - N(f) = \frac{1}{2\pi}\Delta_\gamma \arg\left(1 + \frac{g(z)}{f(z)}\right). \] \(\gamma\) 上 \(|g/f| < 1\)，故 \(1 + g/f\) 始终落在以 \(1\) 为圆心、半径 \(1\) 的圆盘内，不绕过原点，辐角总变化为 0，即 \(N(f+g) = N(f)\)。

曲线 \(\gamma\) 在 \(z_0\) 处的切向量为 \(v = \gamma'(t_0)\)，其像 \((f\circ\gamma)'(t_0) = f'(z_0)\,\gamma'(t_0)\)。乘以 \(f'(z_0) = |f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}\) 相当于对所有切向量施以同一个旋转与伸缩 ⟹ 任意两向量的夹角不变，定向保持。

经典证明基于 Montel 正规族：考虑所有把 \(D\) 映进单位圆盘、且在某点保持归一化的单叶解析函数族，用 Montel 定理证明该族非空且存在"极大模"极限函数，验证其满射即得。直观上：Riemann 映射是"把区域拉平成圆盘"的典范保角变换。